相似形中的數學思想

化歸與轉化的思想

如圖1所示，已知矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，OF⊥AC，垂足為O，且OF交AB于點E，交CB的延長線于點F，求證：OB是OE與OF的比例中項.

顯然，只需證明△BOE∽△FOB即可.

此時，由矩形的性質可知OA=OB，則∠OBA=∠OAB；由OF⊥AC可得∠AOE=90°；在△AOE和△FBE中，易證∠OAE=∠BFE，于是有∠OBE=∠OFB，又∠BOE=∠FOB，則問題獲證.

點評 要證明線段成比例，尋找與線段相關的兩個三角形相似是處理此類問題最為常見的思維方式. 有時需先將原題中的某些線段進行等量代換，然后再通過相似進行證明.

方程思想和分類討論思想

在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點，AD=12，在AB上取一點E，使A，D，E三點組成的三角形與△ABC相似，則AE的長為（ ）

A. 16 B. 14

C. 16或14 D. 16或9

解析 在AB上取一點E，使A，D，E三點組成的三角形與△ABC相似，顯然點E有兩種情況，即∠AED=∠ACB或DE∥BC，這樣，由相似三角形即可求出AE=9或16. 故應選D.

點評 在解答有關相似形的某些習題時，往往需要按某一標準把問題分成若干個部分或情況，分別加以研究，逐一解決，從而得到完整的結果. 這種分類討論思想，需仔細審題，同時，分類要注意兩點，即正確選擇分類標準及分類要做到既不重復又不遺漏.

一塊直角三角形余料，直角邊BC=80 cm，AC=60 cm，現要最大限度地利用這個余料把它加工為一個正方形，求這個正方形的邊長.

解析 最大限度地利用余料，說明加工出來的正方形的頂點應全部都在三角形的邊上，其中有兩個頂點在同一邊上，此時的這兩個頂點便出現了兩種情況：在直角邊上和在斜邊上，那究竟在什么邊上的面積最大？應加以討論.