永無止境的魔環

公元1858年，德國數學家麥比烏斯（Mobius，1790～1868）發現：把一個扭轉180°后再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質，如圖1所示. 因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面）.

我們一起來看看這個神奇的東西. 每一張紙均有兩個面和封閉曲線狀的棱（edge），如果有一張紙它有一條棱而且只有一個面，使得一只螞蟻能夠不越過棱就可從紙上的任何一點到達其他任何一點，這有可能嗎？事實上是可能的，只要把一條紙帶半扭轉，再把兩頭粘上就行了，如圖2所示.

有趣的是：新得到的這個較長的紙圈本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起！為了讓大家直觀地看到這一不太容易想象出來的事實，我們可以把上述紙圈再一次沿中線剪開，這回真的一分為二了，得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不能打結罷了.

麥比烏斯帶還有更為奇異的特性. 一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在麥比烏斯帶上獲得了解決！

如在普通空間無法實現的“手套易位”問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同. 我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去，也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來. 無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若你把它搬到麥比烏斯帶上來，那么解決起來就易如反掌了.

自然界的許多物體也類似于手套，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另—個是右手系的，它們之間有著極大的不同.

如果你感興趣，可以再試試另一個實驗. 如果我們另取一個麥比烏斯環，并在環寬度三分之一處橫剪一周，剪后的結果不再是一個大環而是兩個相互扣著的環！在這兩環中，一個仍是只有一面一邊的麥比烏斯環，其長度仍和原來的環一樣，而另一個卻變成普通的兩面兩邊的環但長度是原來的一倍，怎樣，很神奇吧！讓我們看一下，它是怎么制作的呢？

找一張紙條，把一面涂成白色，另一面涂成黑色. 要從白色的一面繞到黑色的一面，必須經過紙的邊界，不然的話，說什么也是過不去的. 也就是說，這張紙有兩個面（如圖4所示）.

把紙條的兩端黏起來，成為一個普通的紙圈. 這個紙圈仍然有兩個面，而且有兩條邊. 把有里面外面之分的面叫雙側面[如圖5（a）所示].

如果把紙條擰一下，然后把兩端粘上，奇妙的事情發生了：當你用筆沿著白色的面向前畫，不知不覺地就畫到了黑色的面，再繼續向前畫，又回到了白色的面. 這個紙圈只有一個面！如果用筆順著紙圈的邊緣畫，繞兩圈后，又會回到起點，也就是說，這個紙圈只有一條邊[如圖5（b）所示].

數學上把沒有里外面之分的面叫單側面. 單側面就是只有一個面的面. 這個單側面是德國數學家麥比烏斯首先發現的，為了紀念他的發現，把它叫做“麥比烏斯圈”. 在美國華盛頓一座博物館門口聳立著一座約3米高的麥比烏斯圈，它每天不停地旋轉，在向人們展示著數學的魔力.

人們還魔術般地把麥比烏斯圖的模型制作出來，展現在人類的面前.