年年“題”不同 歲歲“法”相似

2011年全國新課標卷第21題為：已知函數f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x+2y-3=0。

（1）求a，b的值；（2）如果當x>0且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍。

對于第（2）問，高考命題組提供的標準答案為：（2）由（1）知f（x）=+，所以

f（x）-（+）=（2lnx+）。

構造函數h（x）=2lnx+（x>0），則h′（x）=。

（ⅰ）設k≤0，由h′（x）=知，當x≠1時，h′（x）<0。而h（1）=0，故當x∈（0，1）時，

h（x）>0，可得h（x）>0；當x∈（1，∞）時，h（x）<0，可得h（x）>0，從而當x>０且x≠1時，f（x）>+。

（ⅱ）設00，故h′（x）>0，而h（1）=0，故當x∈（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設矛盾。

（ⅲ）設k≥1，此時h′（x）>0，而h（1）=0，故當x∈（1，∞）時，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-∞，0]。

解法評析：本題對k進行分類討論，逐段篩選出符合條件k的的范圍。篩選的辦法是通過對函數（或所構造的函數）求導，然后篩選出使導數能明顯判斷正負k的范圍，說明函數單調性，驗證不等式恒成立；再對導數可正可負的k的范圍進行討論，用類似舉反例的方法說明不等式不恒成立，即不符合題意；最終由以上兩部分的篩選得到所求k的范圍。這種解法既考查對不等式恒成立條件正面的探究過程，又考查不等式不恒成立的否定過程，對應試者能力要求高，一般作為高考壓軸題的首選題型，活躍在近年來的高考試題中。其實這種方法的考查從2006年全國高考試題中首次出現以后，幾乎每年都有。相同類型高考題目有：

2006（全國Ⅱ）理第20題：設函數

f（x）=（x+1）ln（x+1）若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍。

2007（全國Ⅰ）理第20題：設函數f（x）=ex-e-x（1）證明：f（x）的導函數f′（x）≥2；（2）若對所有x≥0都有f（x）≥ax，求實數a的取值范圍。

2008（全國Ⅱ）設函數f（x）=（1）求f（x）的單調區間；（2）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍。

2010（全國Ⅱ）已知函數f（x）=1-e-x（1）。證明：當x>-1時，f（x）≥；（2）設當x≥0時，f（x）≤，求a的取值范圍。

同一類型問題能連續五年作為高考壓軸題目出現，一方面說明這類問題具有較好的區分度，另一方面也說明中學教學對此類問題研究不夠。這類問題一般也可以利用參變分離的方法轉化為函數的最值問題來處理，以2011年全國新課標卷第21題（2）為例，解法如下：

（2）由（1）知，當f（x）=+時，當x>0，x≠1，f（x）>+即k<+1在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，令g（x）=+1，x∈（0，1）∪（1，+∞），

則g′（x）==

#8226;[lnx+]

再令h（x）=lnx+，x∈（0，+∞），

h′（x）=≥0，即h（x）在（0，+∞）上遞增，而h（1）=0，故當01時，h（x）>0，則g′（x）>0，所以g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增。

又（1-+1）=(+1）=0，所以k≤0，即k的取值范圍是（-∞，0]。

這種解法雖然可避免分類討論，但往往要用到高階導數，甚至于要用到洛必達（L'Hospital）法則才能求出極限，這些都要涉及高等數學知識，所以這種做法一般不會作為高考命題組提供的參考答案，也不應該是考生的首選方法。除以上兩種方法外，有時也可以考慮數形結合法，解法如下：由（1）知f（x）=+，當x>０且x≠1時，f（x）>+恒成立。

1.當x>1時，由f（x）>+

得（k-1）（x2-1）<-2xlnx在（1，+∞)上恒成立，令g（x）=（k-1）（x2-1），h（x）=-2xlnx，畫出h（x）圖像，過(1，0），且h（x）=0，要使（k-1）（x2-1）<-2xlnx在（1，+∞）上恒成立，只需當x>1時g（x）圖像在h（x）圖像下方，由圖像k>1知時不成立，∴k≤1，故g（x）開口向下，過

（±1，0）點，當x>1時由圖像斜率變化知g″（x）≤h″（x）在（1，+∞）上恒成立，即k-1≤-在（1，+∞）上恒成立，所以k≤0。

2.當0+

得（k-1）（x2-1）<-2xlnx在（0，1)上恒成立，令

g（x）=（k-1）（x2-1），h（x）=-2xlnx，畫出h（x）圖像，要使（k-1）（x2-1）>-2xlnx在（0，1）上恒成立，只需g（x）圖像在h（x）圖像上方，當0

|g″（x）|≥|h″（x）|在（0，1）上恒成立，即k-1≥在（0，1）上恒成立，所以k≤0。

綜上所述，k≤0，即k的取值范圍是（-∞，0]。這種解法雖然更直觀，但數形結合法的缺點是一般難以精確作圖，所以數形結合法容易出錯且嚴謹性不夠，因此數形結合法一般也要慎用。

綜上，函數不等式恒成立求參數范圍問題一般仍然要以逐段篩選法為主，輔之以構造函數、分離參變等策略，盡量避免過分依賴高等數學有關結論，用高中所學知識創造性地解決問題，這也是命題者的意圖所在。同時教師在高三復習教學中要善于總結逐段篩選法的一般思維方式，認真研究全國卷函數不等式恒成立求參數范圍問題的解法特征，強化學生對這一思想方法的認識。

（責任編輯 劉永慶） (本文編輯：郎威)

【收稿日期】

(本文編輯：郎威)χ 2x±sx±s×109×109χ2P<(本文編輯:程旭然)