轉化與化歸思想(下)

數學中的轉化與化歸思想方法，指在研究和解決有關數學問題時，通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得問題的一種手段和方法． 轉化與化歸思想的特點是實現問題的規范化、模式化，以便應用已知的理論、方法和技巧達到問題的解決，其方向是由未知到已知，由難到易，由繁到簡． 世界數學大師波利亞強調：“不斷地變換你的問題”“我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止”． 下面談一談如何滲透轉化與化歸的數學思想．

知識發生的過程是指揭示和建立新舊知識的內在聯系，使我們得到新知識，即表層知識規范化的過程．它包括數學的一些現成結果，還包括這些結果的形成過程，如概念的形成過程、問題的發現過程、規律的揭示過程、結論的推導過程、方法的思考過程等．實際上，在這個過程中，蘊于其中的深層知識——轉化與化歸思想也在同時發生著，它對實現我們數學的“返璞歸真”有著重要的意義．我們只有在數學思想的高度上去“做”數學，才能終身受益．

閱讀如下材料：“已知a，b，c，d∈R，a2+b2=1，c2+d2=1，求ac+bd的最大值．

解 a2+c2≥2ac，b2+d2≥2bd，兩式相加得a2+b2+c2+d2≥2ac+2bd，那么2≥2（ac+bd），即ac+bd≤1，當且僅當a=c，b=d時，ac+bd=1，故ac+bd的最大值是1．”

請類比材料中問題的求解過程，完成以下問題：“a，b，c，d∈R，a2+b2=4，c2+d2=9，求ac+bd的最大值．”

破解 不難看出，閱讀材料中兩個等式的右端相等均為1，故利用基本不等式求最大值，“=”可以取得，由此看來，要解答本問題，必須首先將題設中的等式作如下的變形：a2+b2=4，c2+d2=9+=1，+=1， 于是+≥2#8226;=，+≥2#8226;=，2=+++≥+=，故ac+bd的最大值是6．

反思 解題中利用類比推理的解題策略，實際上就是一種轉化與化歸的思想，功效是顯著的．但類比中新結論的產生不是簡單的模仿、復制，而是一種創造性的頓悟，同學們在解題中常常因為問題形式相似，往往產生一種“親近”感，易產生松懈、麻痹的心態，誤用類比推理致使解題出現錯誤，如：對照閱讀材料，發現問題的條件、結論和閱讀材料相似，故模仿閱讀材料中的解法知a2+c2≥2ac，b2+d2≥2bd，兩式相加得a2+b2+c2+d2≥2ac+2bd，于是13≥2（ac+bd），即ac+bd≤． 故ac+bd的最大值是． 錯在哪里？原因是當且僅當a=c，b=d時ac+bd的最大值是，可是如果a=c，b=d，那么a2+b2=c2+d2，即4=9，顯然這與4≠9矛盾！原來錯誤之處在于“=”無法取得，結構特征有變化時，類比要小心！

知識的應用過程是指對已有概念、定理、公式、法則和方法的鞏固和應用中進一步理解的過程． 我們可以通過各種方式進行滲透，如在知識體系或變式訓練中進行滲透等，但內容設計要有彈性．

1． 在知識體系中滲透轉化與化歸思想

等差和等比數列是數列中最常見的兩種重要數列，解題中若能把遞推數列化歸為等差或等比數列求解，則比較簡潔． 形如an+1=pan+q可采用待定系數法將其轉化為an+1+t=p（an+t），其中t=，則數列｛an+t｝為公比等于p的等比數列，然后求an即可；形如an+2=can+1+dan的遞推數列求通項公式，通過對系數的分解，可得等比數列｛an－an－1｝：設an+2－kan+1=h（an+1－kan），比較系數得h+k=c，－hk=d，可解得h，k，從而可通過適當換元，轉換成等比數列或等差數列求解．

在數列｛an｝中， a1=1，當n≥2時，有an=3an－1+2，求數列｛an｝的通項公式．

破解 設an+t=3（an－1+t），則an=3an－1+2t，所以t=1，于是an+1=3（an－1+t），所以｛an+1｝是以a1+1=2為首項，以3為公比的等比數列． 所以an=2#8226;3n－1－1．

反思 通過選擇適當的形式，引入待定的參數，再確定參數的值．對形如“an+1=pan+q”的遞推公式，我們一般都是構造公比為p的輔助數列｛an+t｝，要特別注意該數列的首項不是a1，而是a1+t．

2． 在變式訓練中滲透轉化與化歸思想

由于轉化與化歸具有多向性、層次性和重復性的特點，為了實施有效的轉化，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結論；既可以變換問題的內部結構，又可以變換問題的外部形式，這就是多向性． 轉化與化歸原則既可應用于溝通數學與各分支學科的聯系，從宏觀上實現學科間的轉換，又能調動各種方法與技術，從微觀上解決多種具體問題，這是轉化與化歸的層次性． 而解決問題可以多次使用轉化，使問題逐次達到規范化，這就是轉化與化歸原則應用的重復性．

已知函數y=f（x）是定義在［－1，1］的減函數，且是奇函數．若f（a2－a－1）+f（4a－5）>0，求實數a的取值范圍．

破解 由f（a2－a－1）+f（4a－5）>0得f（a2－a－1）>－f（4a－5）=f（5－4a）． y=f（x）是定義在［－1，1］的減函數，所以a2－a－1<5－4a，所以a2+3a－6<0，即－1≤a2－a－1≤1，－1≤4a－5≤1，a2+3a－6<0，解得1≤a<．

反思 一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單．特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規律，從而達到成批地處理問題的效果．

數學題目千變萬化，雖然不存在固有的解題模式和千篇一律的解題方法，但只要我們破除思維定式，樹立創新意識，進行發散思維，左掛右聯，巧思妙想，分析題目結構特征，還是可以找到令人耳目一新的解法．

已知函數f（x）=x2+ax+1，當a∈［0，2］時， f（x）>0恒成立，求實數x的取值范圍．

破解 若視a為主元，x為輔元， f（x）即可轉化為g（a）=xa+x2+1． 當x=0時，g（a）=1>0恒成立；當x≠0時，g（a）是關于a的一次函數，所以當a∈［0，2］時f（x）>0恒成立等價于g（0）>0，g（2）>0， 即x2+1>0，x2+2x+1>0，所以x的取值范圍為｛xx∈R，x≠－1｝.

反思 利用主元與參變量的關系，視參變量為主元（即參變量與主元的角色轉換），常使問題柳暗花明．

華羅庚說過：“善于退，足夠地退，退到起始，而不失去重要地步，是學好數學的訣竅．”對于表面上難于解決的問題，需要我們退步考慮，研究特殊現象，再運用分析歸納、遷移、演繹等手法去概括一般規律，使問題獲解． 轉化的目的是改容易面，化繁為簡，巧闖難關． 高考中正確靈活地運用化歸思想，找到化歸途徑，使用化歸手段，定會取得事半功倍的效果． 轉換是化歸的實施．化歸重在理念，轉換重在操作．

已知A=｛（x，y）ax+y=1｝，B=｛（x，y）x+ay=1｝，C=｛（x，y）x2+y2=1｝，

（1）a取何值時，（A∪B）∩C有且僅有二個元素？

（2）a取何值時，（A∪B）∩C有且僅有三個元素？

破解 （1）要使兩直線與單位圓有兩個交點，其位置關系如圖所示：

圖1 圖2

由以上兩圖可得，a=0或1時，（A∪B）∩C有且僅有二個元素．

（2）要使兩直線與單位圓有三個交點，其位置關系如圖3所示：也即兩條直線的交點A在單位圓上，聯立方程得ax+y=1，x+ay=1x=y=，代入單位圓a=±－1，即a=±－1時，（A∪B）∩C有且僅有三個元素．

反思 本題先將問題轉化為對方程組的求解，再轉化為對幾何圖形的討論，集合A，B，C表示點所組成的集合，即表示兩條直線與一個單位圓． 利用形與數的轉化使問題獲解．