分析綜合法,解數(shù)學(xué)題的主流方法(下)

眾所周知，為了找到解題思路，依據(jù)推理序列的方向不同，思考方法分為分析法和綜合法． 而實際解題中卻常常需要聯(lián)合運(yùn)用分析法和綜合法，找出溝通條件與結(jié)論（待求）之間的橋梁．如果要解決的命題是“若A，則B”，那么用分析綜合法解題的思維方式為：

（1）用綜合法，由因?qū)Ч篈C1C2…Cn． （下一步怎么辦？思路不十分清楚）

（2）用分析法，執(zhí)果索因：BC′1 C′2…C′n．

（3）如果Cn與C′n已相同，則解題思路探明．

分析綜合法的意義在于它告訴人們，在解題時，不僅要注意利用條件，而且要時刻盯住解題目標(biāo)；既要充分利用條件，又要充分利用結(jié)論；既要看由條件能得到些什么，又要看想得到結(jié)論還需要些什么． 需要什么，就求什么！即，既要由“已知”想“可知”，又要由“未知”想“需知”，通過“可知”與“需知”的溝通，將問題解決．

在上期，我們主要講了其在集合、復(fù)數(shù)、三角、函數(shù)、數(shù)列等問題中的應(yīng)用，本期接著闡述其在其他方面的靈活應(yīng)用，希望能對同學(xué)們學(xué)好數(shù)學(xué)有所幫助．

等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn．已知對任意的n∈N，點（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b>0且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．

（1）求r的值；

（2）當(dāng)b=2時，記bn=2（log2an+1）（n∈N）． 證明：對任意的n∈N，不等式#8226;#8226;…#8226;>成立．

（1）易得，r=－1．

（2）分析 本題容易首先想到用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． 在假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立的過程中，也必需借助于分析綜合法完成證明，這里從略． 若擬用放縮法證明，我們可用分析綜合法來探索放縮式是怎樣被找到的．

證明 由（1）知，an=2n－1． 因此，bn=2n（n∈N）．

于是，所證不等式為#8226;#8226;…#8226;>．

要想用放縮法證明，關(guān)鍵是找到放縮式！即如何放縮？不得而知，為此我們用分析綜合法探求：假設(shè)>cn①，且c1#8226;c2#8226;…#8226;cn=②．則由②得，cn=． 這樣只要能證明>③，則放縮式找到． 要證③，只需證2n+1>2，只需證4n2+4n+1>4n2+4n，只需證1>0（或2n+1=n+（n+1）>2），最后的不等式顯然成立．

故放縮式找到．

因為放縮式已經(jīng)找到，所以也可如下推得放縮式．

因為=#8226;>#8226;=，令n=1，2，3，…，n，并代入所證不等式的左邊，即得

#8226;#8226;…#8226;>#8226;#8226;#8226;…#8226;=．

故對任意的n∈N，不等式#8226;#8226;…#8226;>成立．

思索 對于像“求證：a1#8226;a2#8226;a3#8226;…#8226;an0）”的問題．

當(dāng)f（n）不是常數(shù)時，若能用放縮法證明，假設(shè)對an進(jìn)行放縮的方法為0

放縮式找到，一般均可解決．

已知橢圓M：+y2=1，若直線l：y=kx+4交橢圓M于A，B兩點，且直線OA，OB的斜率之和為2，其中O為坐標(biāo)原點，求直線l的斜率k．

破解一 常規(guī)解法．聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和點在直線上把kOA+kOB=2用k表示出來，進(jìn)而可以求得k．

運(yùn)算量大，容易失去信心，出錯的可能性大大提高．

破解二 （分析綜合法）若設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又因為kOA+kOB=2，即+=2． 注意到上式的形式，使我們想到韋達(dá)定理，于是若能直接得到以為元的一元二次方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的方程，則問題的求解將會經(jīng)濟(jì)得多．有辦法嗎？

由+y2=1，y=kx+4得+y2=，

化簡得，15y2+2kxy+（4－k2）x2=0．

當(dāng)x=0時，方程組無解，所以x≠0． 所以15+2k+（4－k2）=0．

所以+=－=2，解得k=－15．

此時Δ=4k2－4×15（4－k2）>0．

故k=－15即為所求的值．

思索 一般地，凡涉及直線與圓錐曲線相交，且交點與原點連線的斜率問題均可考慮運(yùn)用上述方法解決．

設(shè)橢圓E：+=1（a，b>0）過M（2，），N（，1）兩點，O為坐標(biāo)原點．

（1）求橢圓E的方程．

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍；若不存在，說明理由．

（1）破解 將M，N的坐標(biāo)代入橢圓E的方程得，+=1，①+=1. ②（根據(jù)求解目標(biāo)，只需求得和）

由②×2-①得，=1，即=．代入②得，=．

所以橢圓E的方程為：+=1．

（2）分析 本小題的本質(zhì)就是，證明滿足題設(shè)條件的直線AB是一條動直線，且原點O到直線AB的距離為定值．

破解 假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為：x2+y2=R2，其中0

設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，

（1）當(dāng)切線AB的斜率不存在時，由⊥，易得x2=．

此時，直線AB的方程為x= ±．

由原點O到直線AB的距離d=，所以此時，存在圓x2+y2=滿足題設(shè)．

（2）當(dāng)切線AB的斜率存在時，令直線AB的方程為y=kx+m，①

（是否直接將①代入橢圓方程，且慢！注意條件之一是⊥，即kOA#8226;kOB=－1．

即#8226;=－1．

注意到上式的形式，使我們想到韋達(dá)定理，于是若能直接得到以為元的一元二次方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的方程，則問題的求解將會經(jīng)濟(jì)得多． 有辦法嗎？）

顯然，m≠0，所以①式可以變?yōu)?=，并代入橢圓方程，得

+=，化簡得，（m2－8k2）x2+16kxy+2（m2－4）y2=0．①

①當(dāng)x=0時，由橢圓E得y=±2，即A（0，±2）．

由⊥，易得B（±2，0）．

此時，直線AB的方程為+=1，由原點O到直線AB的距離d=，所以此時，存在圓x2+y2=滿足題設(shè)．

②當(dāng)x≠0時，①可以化為2（m2－4）+16k+（m2－8k2）=0．

因為⊥，

所以#8226;=－1，

所以=－1，

即3m2=8（1+k2）．

由原點O到直線AB的距離為d==為定值，

所以R=d=．

所以此時，存在圓x2+y2=滿足題設(shè)．

綜上知，存在圓x2+y2=滿足題設(shè)．

下面再求AB的取值范圍（略）．

圖1

思索 在解（1）時，由于采用了分析綜合法，故不求a2，b2，更不求a，b，而是求，，不僅合理，而且也是最經(jīng)濟(jì)的．

在解（2）時，首先，能像分析的那樣弄清問題的本質(zhì)，直搗“敵人的指揮部”，直擊死穴，擊中七寸，是換一種說法和轉(zhuǎn)化能力較高的體現(xiàn)，是解決本題的關(guān)鍵之一；其次，根據(jù)題設(shè)條件的等價式#8226;=－1的結(jié)構(gòu)，想到韋達(dá)定理，從而想辦法產(chǎn)生以為元的一元二次方程，再由韋達(dá)定理建立關(guān)于m，k的等式，使問題獲解，這種“設(shè)而不求”的方法較之直接消去y（或x）的“設(shè)而不求”的方法，運(yùn)算量不知要小多少，而且考生會更有信心（這很重要），出錯的機(jī)會也大大減少．

這當(dāng)然應(yīng)當(dāng)歸功于“分析綜合法”．

當(dāng)切線AB的斜率不存在時，存在圓x2+y2=滿足題設(shè)．

這一信息可以啟示我們，若滿足題設(shè)的圓存在，則必然是圓x2+y2=（分析綜合法的杰作）．

為此也可以用如下思路求解：設(shè)切點為Pcosα，sinα，則切線AB的方程為cosα#8226;x+sinα#8226;y=，與橢圓E的方程為+=1聯(lián)立，并消去y得關(guān)于x的一元二次方程，然后利用韋達(dá)定理等即可證明x1x2+y1y2=0，即⊥．從而圓x2+y2=即是滿足題設(shè)的圓．當(dāng)然，也可設(shè)P（x0，y0），且x+y=，類似可證．

如圖2，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O，D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC．

圖2

（1）（2）略，（3）當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心．

破解 （1）由于不知道重心的概念，使一部分考生退出；

（2）利用向量解決，雖然思路較容易，但運(yùn)算量較大；

（3）利用分析綜合法，較易得解．由已知得，OP，OC，OB兩兩互相垂直，所以，點O在平面PBC內(nèi)的射影F是△PBC的垂心（綜合法），若在平面PBC內(nèi)的射影F又恰好是△PBC的重心，則△PBC應(yīng)當(dāng)是正三角形（分析法）．

所以，PB=PC=BC=kPA，又因為，BC=PA，所以，k=1．

顯然，當(dāng)k=1時，命題也成立．

故k=1為所求．

思索 由于利用分析綜合法思考問題，使問題變得“柳暗花明”，輕易獲解．

綜上所述知，分析綜合法的思維特點是，既充分利用條件，又充分利用結(jié)論；需要什么，就求什么. 只有這樣才能方向明確，不會偏航，才能使解題過程既簡潔又經(jīng)濟(jì)． 沒有目標(biāo)的探索是盲目的，有了方向的努力才能是卓有成效的． 分析綜合法絕不僅僅是解決某種數(shù)學(xué)問題的思維方法和解題方法，而是解決任何數(shù)學(xué)問題的思維方法和解題方法．