二輪復習之函數(shù)與導數(shù)突破

函數(shù)是整個高中數(shù)學的核心內容，是初等數(shù)學與高等數(shù)學的主要銜接部分，同時也是貫穿整個中學數(shù)學的一根主線，具有概念性強、內容豐富、與其他知識（特別是方程、不等式、導數(shù)等）聯(lián)系廣泛等特點． 在高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中都有函數(shù)試題，而且常考常新，近年以基本函數(shù)為背景的應用題和綜合題也是高考命題的新趨勢．

1． 串聯(lián)情況：本部分是函數(shù)內容的基礎． 重點是了解函數(shù)的定義，會求簡單函數(shù)的定義域、值域，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用． 在熟練掌握有關技能的同時，注意換元、待定系數(shù)法等數(shù)學思想方法的運用，并通過對分段函數(shù)、復合函數(shù)、抽象函等的認識，進一步體會函數(shù)關系的本質．

2． 考情分析：從近幾年來看，對本考點的考查形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的方向發(fā)展，多為尋求變量間的函數(shù)關系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)性質來解決問題．考查以選擇或填空題為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大．

3． 破解技巧：

（1）函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，一般是構建不等式組求解．

（2）要克服“函數(shù)就是解析式”的片面認識，其中列表法、圖象法直觀，解析法是常用表述法，同時也要注意自變量的實際意義的要求．

（3）確定函數(shù)f（x）的值域或最值一般用不等式法、配方法、幾何法、換元法，也可直接利用它的圖象和性質求解，還可利用單調性定義或導數(shù)法確定其性質，再求值域．

4． 經(jīng)典例題：

函數(shù)f（x）=的定義域為A，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a<1）的定義域為B．

（1）求A；

（2）若BA，求實數(shù)a的取值范圍．

破解思路 實數(shù)集合間的相互關系一般需注意數(shù)軸（或韋恩圖）的利用；含參問題討論需注意合理的分類討論．

經(jīng)典答案 （1）由2－≥0得x<－1或x≥1，所以A=（－∞，－1）∪［1，+∞）．

（2）由（x－a－1）（2a－x）>0得［x－（a+1）］（x－2a）<0． 因為a<1，所以a+1>2a，所以B=（2a，a+1）． 因為BA，所以2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，所以a≤－2或≤a<1．

設函數(shù)f（x）=x－1（x≥0），（x<0）.若f（a）>a，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

破解思路 分段函數(shù)體現(xiàn)了“分類”的數(shù)學方法，也是高考命題的熱點之一． 解此類問題一般需從兩方面考慮問題，必要時可結合圖象處理．

經(jīng)典答案 法1：當a≥0時，有a－1>a，得a<－2（不合條件，舍去）；當a<0時，有>a，解得a<－1或a>1，所以a<－1，綜上得a的取值范圍是（－∞，－1）．

法2：分別作出函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x的圖象，用兩函數(shù)交點的橫坐標確定取值范圍．

1． 串聯(lián)情況：函數(shù)的圖象與性質是函數(shù)的主體部分． 考查形式靈活多變，一般是通過函數(shù)與不等式、導數(shù)或數(shù)列的交匯與鏈接，借助函數(shù)圖象的直觀工具，全面考查函數(shù)的奇偶性、周期性及單調性等基礎知識，同時考查數(shù)形結合、抽象思維、邏輯推理及創(chuàng)新能力．

2． 考情分析：函數(shù)性質是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質相關聯(lián)，函數(shù)圖象是函數(shù)形的體現(xiàn)，著力考查作圖、識圖、用圖能力． 從近幾年來看，以中等難度、題型新穎的試題綜合考查函數(shù)的性質，預計以組合形式、一題多角度考查函數(shù)性質的試題會成為新的熱點．

3． 破解技巧：函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質的數(shù)量特征緊密結合，有效地揭示了各類函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結合的特征與方法，為此，學習本單元要從定形、定性、定位各方面深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法；掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，并靈活運用圖象輔助解題．

4． 經(jīng)典例題：

設函數(shù)f（x）=x2+2x－a（x∈R，a為實數(shù)）

（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；

（2）設a>2，求函數(shù)f（x）的最小值．

破解思路 （1）函數(shù)的奇偶性問題，一要確定函數(shù)的定義域，二要看f（x）與f（－x）的關系；

（2）討論二次函數(shù)的區(qū)間最值問題：①注意對稱軸與區(qū)間的相對位置；②注意系數(shù)a的符號對拋物線開口方向的影響．

經(jīng)典答案 （1）由偶函數(shù)的定義得f（－x）=f（x），即2x－a=2x+a，解得a=0．

（2）f（x）=x2+2x－a（x≥a），x2－2x+a（x2，x≥a，得x>1，從而f（x）在x≥a時單調遞增， f（x）的最小值為f=．

當x0知f（x）的最小值為a－1．

假設定義域為［0，1］的函數(shù)f（x）同時滿足以下三個條件時稱f（x）為“友誼函數(shù)”：

①對任意的x∈［0，1］，總有f（x）≥0；

②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，則下列判斷正確的有_________．

（1）f（x）為“友誼函數(shù)”，則f（0）=0；

（2）函數(shù)g（x）=2x－1在區(qū)間［0，1］上是“友誼函數(shù)”；

（3）若f（x）為“友誼函數(shù)”，且0≤x1

破解思路 解決抽象函數(shù)問題一般有三種思路：

①利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內的增減性，去掉“f”符號，轉化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用；

②適當?shù)摹百x值”也是得到一些基礎結論的好方法；

③尋求函數(shù)“模型”通過簡圖處理．

經(jīng)典答案 （1）取x1=x2=0得f（0）≥f（0）+f（0），又由f（0）≥0，得f（0）=0．

（2）顯然g（x）=2x－1在［0，1］上滿足①g（x）≥0；②g（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，則有g（x1+x2）－［g（x1）+g（x2）］=2－1－［（2－1）+（2－1）］=（2－1）（2－1）≥0，故g（x）=2x－1滿足條件①②③，所以g（x）=2x－1為友誼函數(shù)．

（3）因為0≤x1

綜上，正確答案是（1）（2）（3）．

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（2－x）=－f（x），且在［－1，0］上是增函數(shù)，下面關于f（x）的判斷：

①f（x）是周期函數(shù)；

②f（5）=0；

③f（x）在［1，2］上是減函數(shù)；

④f（x）在［－2，－1］上是減函數(shù)．其中正確的判斷是________.

（把你認為正確的判斷都填上）

破解思路 研究函數(shù)圖象，可以從“數(shù)”和“形”兩個方面入手，即解析式定量分析與圖象的定性分析．

經(jīng)典答案 因為f（2－x）=－f（x），所以f（x）有對稱中心（1，0）．

又f（2－x）=－f（x），所以f（x）= －f（2－x），所以f（x+4）=－f［2－（x+4）］= －f［－（x+2）］．

又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x+4）= －f（x+2），所以f（x+4）=f［2－（x+2）］=f（－x）=f（x），所以4是f（x）的一個周期．

從而由圖象可知其中正確的判斷是①②③．

1． 串聯(lián)情況：二次函數(shù)是中學代數(shù)的基本內容之一，它既簡單又具有豐富的內涵和外延． 作為最基本的初等函數(shù)，可以它為素材來研究函數(shù)的單調性、奇偶性、最值等性質，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其他平面曲線討論相互之間關系．

2． 考情分析：有關二次函數(shù)的內容與近、現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展緊密聯(lián)系，是我們進入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎． 從近幾年高考的形勢來看，十分注重對三個“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同時也研究了它的許多重要的結論，并付諸應用． 高考試題中有近一半的試題與這三個“二次”問題有關．

3． 破解技巧：學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖象特征． 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，從圖象特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合．

4． 經(jīng)典例題：

已知二次函數(shù)y=f（x）=x2+bx+c的圖象過點（1，13），且函數(shù)y=fx－是偶函數(shù)．

（1）求f（x）的解析式．

（2）已知t<2，g（x）=［f（x）－x2－13］#8226;x，求函數(shù)g（x）在［t，2］上的最大值和最小值．

（3）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由．

破解思路 （1）待定系數(shù)法是求二次函數(shù)解析式的基本方法，可設一般式、頂點式、兩根式，若是結合圖象處理可獲簡潔過程．

（2）確定函數(shù)f（x）在［a，b］上的值域，可直接利用它的圖象和性質求解；也可利用單調性定義或導數(shù)法確定其性質，再求值域．

經(jīng)典答案 （1）因為函數(shù)y=fx－是偶函數(shù)，對稱軸方程為x=－，故b=1．

又因為二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c的圖象過點（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．

因此， f（x）的解析式為f（x）=x2+x+11．

（2）g（x）=（x-2）#8226;x，當x≤0時，g（x）=－（x-1）2+1，當x>0時，g（x）=（x-1）2－1，由此可知g（x）max=0．

當1≤t<2，g（x）min=t2－2t；

當1－≤t<1，g（x）min=－1；

當t<1－，g（x）min=－t2+2t．

（3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，設為P（m，n2），其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，則m2+m+11=n2，從而4n2－（2m+1）2=43，即［2n+（2m+1）］［2n－（2m+1）］=43．

注意到43是質數(shù)，且2n+（2m+1）>2n－（2m+1），2n+（2m+1）>0，所以有2n+（2m+1）=43，2n－（2m+1）=1，解得m=10，n=11.

因此，函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為（10，121）．

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），設方程f（x）=x的兩個實數(shù)根為x1和x2．

（1）如果x1<2－1；

（2）如果x1<2，x2－x1=2，求b的取值范圍．

破解思路 在求解二次方程根的分布問題時，要靈活運用判別式、邊界函數(shù)值、對稱軸等來轉化運算過程． 本題條件x1<2

經(jīng)典答案 設g（x）=f（x）－x=ax2+（b－1）x+1，則g（x）=0的兩根為x1和x2．

（1）由a>0及x1<20，即4a+2b－1<0，16a+4b－3>0，

即3+3#8226;－<0，－4－2#8226;+<0，兩式相加得<1，所以x0>－1．

（2）由（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=－， 可得2a+1=． 又x1x2=>0，所以x1，x2同號．

所以x1<2，x2-x1=2等價于0

即g（2）<0，g（0）>0，2a+1=或g（－2）<0，g（0）>0，2a+1=，解之得b<或b>．

本題還可拆分為以下兩道較簡單的問題：

（拆分1）集合A=｛（x，y）y=x2+mx+2｝，B=｛（x，y）x－y+1=0，且0≤x≤2｝，若A∩B≠，求實數(shù)m的取值范圍． （答案：m∈（－∞，－1］）

（拆分2）已知關于x的方程x2－2tx+t2－1=0的兩個實根屬于區(qū)間（-2，4），則實數(shù)t的取值范圍是_______．（答案：－1

把題設中“兩個實根屬于區(qū)間（-2，4）”改為“至少有一實根屬于區(qū)間（-2，4）”或“至少有一實根屬于區(qū)間［－2，4］”或“一實根大于4，一實根小于-2”作為練習效果更好．

已知函數(shù)f（x）=ax2+（b－8）x－a－ab（a≠0）. 當x∈（－3，2）時， f（x）>0；當x∈（－∞，－3）∪（2，+∞）時， f（x）<0.

（1）求f（x）在［0，1］內的值域；

（2）當c為何值時，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立？

破解思路 （1）確定函數(shù)f（x）在［a，b］上的值域，可直接利用它的圖象和性質求解，也可利用單調性的定義或導數(shù)法確定其有關性質，再求值域.

（2）關于不等式恒成立的問題，常見解法有數(shù)形結合法、分離參數(shù)法與主元法. 多數(shù)與參數(shù)取值范圍有關的問題，都可轉化為恒成立問題來處理. 如以下兩道題.

（拆分1）設f（x）=x2－2ax+2，當x∈［－1，+∞）時， f（ｘ）≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________. （答案：a∈［－3，1］）

（拆分2）已知函數(shù)f（x）=lg（2x－b），b為常數(shù)，若當x∈［1，+∞）時， f（x）≥0，則（ ）

A. b≤1B. b<1

C. b≥1D. b=1

（答案:A）

經(jīng)典答案 由題意得x=－3和x=2是函數(shù)f（x）的零點，且a≠0，則0=a#8226;（－3）2+（b－8）#8226;（－3）－a－ab，

0=a#8226;22+（b－8）#8226;2－a－ab.解得a=－3，

b=5.所以f（ｘ）=－3x2－3x+18.

（1）由函數(shù)圖象知，函數(shù)f（x）在［0，1］內單調遞減，當x=0時，y=18；當x=1時，y=12. 所以f（x）在［0，1］內的值域為［12，18］.

（2）令g（x）=－3x2+5x+c，則g（x）在，+∞上單調遞減. 要使g（ｘ）≤0在［1，4］上恒成立，則需g（ｘ）max=g（1）≤0，即－3+5+c≤0，解得c≤－2. 所以當c≤－2時，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立.

1． 串聯(lián)情況：本部分主要側重考查以下幾點：一是以指對數(shù)運算為依據(jù)，考查求函數(shù)值、對數(shù)式與指數(shù)式的互化；以考查單調性為目的的大小比較；以指數(shù)或對數(shù)函數(shù)為載體，以某一性質為核心，結合其他知識，把問題延伸，主要以考查知識的綜合運用和能力的發(fā)展為目的．

2． 考情分析：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位． 從近幾年的高考形勢來看，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題． 題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復合函數(shù)來考查函數(shù)的性質． 若它們與其他知識點交匯命題，則難度會加大．

3． 破解技巧：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，運算可相互轉化，性質可相互理解，方法可相互借鑒．

（1）學會指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉化；

（2）結合指對數(shù)“互反”性質記憶有關的概念、圖象和性質．

（3）底是參數(shù)時，一定要區(qū)分底是大于1還是小于1的，與對數(shù)有關的問題還要緊扣對數(shù)函數(shù)的定義域．

4． 經(jīng)典例題：

已知函數(shù)f（x）=ax（x<0），（a－3）x+4a（x≥0）滿足對任意x1≠x2，都有<0成立，則a的取值范圍是（ ）

A． 0，B． （0，1）

C． ，1D． （0，3）

破解思路 本題考查意圖：一是解決指數(shù)函數(shù)的相關問題時，要對底數(shù)a進行討論；二是考慮分段函數(shù)的單調性問題，這是學習的一個難點，應緊扣定義理解．

經(jīng)典答案 由條件知， f（x）在R上為減函數(shù)，則0

設函數(shù)f（x）=loga1－，其中0

（1）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；

（2）解不等式f（x）>1．

破解思路 證明函數(shù)單調性的常用方法有：

定義法，一般是作差、分解、判斷.

導數(shù)法，若f（x）在某個區(qū)間A內有導數(shù)，則f ′（x）≥0（x∈A）f（x）在A內為增函數(shù)；

f ′（x）≤0（x∈A）f（x）在A內為減函數(shù)．

經(jīng)典答案 （1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x10，因此有f（x1）>f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)．

（2）由01得loga1－>logaa，則0<1－

已知函數(shù)f（x）=a－，

（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；

（2）求證：不論a為何實數(shù)， f（x）在R上總為增函數(shù)；

（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

破解思路 （1）判斷函數(shù)的奇偶性，先考察定義域，再利用定義判定；

（2）解決具體函數(shù)的單調性問題，一般可用單調性定義解決；也可用求導方法解決． 但用定義證明要注意合理的判斷過程．

經(jīng)典答案 （1）函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0=a－1，所以a=1；

（2）函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：設x1，x2∈R，且x1

因為函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且y>0，又因為x10，2+1>0，所以f（x1），所以函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上是增函數(shù)．

（3）由單調性知2x+1>1，則0<<2，所以f（x）的值域為（－1，1）．

定義在R上的單調函數(shù)f（x）滿足f（3）=log23且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；

（2）若f（k#8226;3x）+f（3x－9x－2）<0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

破解思路 利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內的增減性，去掉“f”符號，轉化為代數(shù)不等式組求解．

經(jīng)典答案 （1）證明：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，代入上式，得f（0）=0；再令y=－x代入上式，得f（x－x）=f（x）+f（－x）=f（0）=0，即f（－x）=－f（x）對任意x∈R成立，所以f（x）是奇函數(shù)．

（2）f（3）=log23>0，即f（3）>f（0），又f（x）在R上是單調函數(shù)，所以f（x）在R上是增函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)．f（k#8226;3x）<－f（3x－9x－2）=f（－3x+9x+2），則k#8226;3x<－3x+9x+2．

令t=3x>0，問題等價于g（t）=t2－（1+k）t+2>0對任意t>0恒成立．

當<0，即k<－1時，g（0）=2>0，符合題意．

當≥0，即k≥－1時，則g=2－>0，得－1≤k<－1+2．

綜上，當k<－1+2時， f（k#8226;3x）+f（3x－9x－2）<0對任意x∈R恒成立． （另解：分離系數(shù)得k<（3x+－1）min=2－1，此法簡潔、新穎）

1． 串聯(lián)情況：本部分內容在高考中地位并不非常突出，但屬于必考內容，整個命題過程源于教材，又高于教材，是教材中問題的延伸、變形與組合，主要以考查知識的綜合運用和能力的發(fā)展為目的．

2． 考情分析：函數(shù)與方程的理論是高中新課標教材中新增的知識點，特別是“二分法”求方程的近似解一定是高考的考點． 題型可為選擇題、填空題和解答題，多為函數(shù)零點（即方程的根）的應用問題，即已知函數(shù)的零點的存在情況求參數(shù)的值，同時考查函數(shù)方程的思想．

3． 破解技巧：解決該類問題關鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結合思想，構建關于參數(shù)的方程或不等式求解．

4． 經(jīng)典例題：

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時， f（x）=log0.5（x+1）（0≤x<1），1－x－3（x≥1），則關于x的方程f（x）=a（－1

破解思路 奇偶函數(shù)的問題，可以根據(jù)對稱性先研究一部分，數(shù)形結合是解決此類問題的常用方法．

經(jīng)典答案 因為x≥0時， f（x）=log0.5（x+1）（0≤x<1），1－x－3（x≥1），而當x<0時，－x>0，所以f（－x）=log0.5（－x+1）（0≤－x<1），1－－x－3（－x≥1）=log0.5（－x+1）（－1

綜上S=－1（－1

1． 串聯(lián)情況：導數(shù)是高中數(shù)學中重要的內容，是解決實際問題的強有力的數(shù)學工具，運用導數(shù)的有關知識，研究函數(shù)的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題．

2． 考情分析：對函數(shù)與導數(shù)的交匯考查非常全面，所占分值較高，既有基本題也有綜合題． 一般以兩種形式考查：一是直接把導數(shù)應用于多項式函數(shù)性質的研究，考查多項式函數(shù)的單調性、極值、最值等：二是把導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等相聯(lián)系，進行綜合考查，主要考查函數(shù)的最值或求參數(shù)取值范圍問題．

3． 破解技巧：首先確定函數(shù)的定義域，再求導數(shù)f ′（x），得到導函數(shù)的零點，一般列表判定單調區(qū)間與極值或最值；若是含參變量的單調性或極值問題，則應結合定義域對方程根的問題進行討論；求解某些綜合問題時，還要進行命題轉化（如恒成立、大小比較、數(shù)列問題等），逐步化歸為基本問題來解決，尤其要注意分類討論、數(shù)形結合等思想的綜合運用．

4． 經(jīng)典例題：

已知函數(shù)f（x）的定義域為［－3，+∞），部分函數(shù)值如表1所示，其導函數(shù)的圖象如圖1所示，若正數(shù)a，b滿足f（2a+b）<1，則的取值范圍是（ ）

表1

圖2

A． ，1

B． ，4

C． （1，4）

D． －∞，∪（4，+∞）

破解思路 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與利用初等函數(shù)研究單調性不同，其中導函數(shù)是通過函數(shù)值的正負研究其單調性的，初等函數(shù)是通過圖象的上升或下降來研究其單調性的．

經(jīng)典答案 由函數(shù)表與導數(shù)圖判定得－3<2a+b<6，作出區(qū)域圖，結合兩點間斜率的幾何意義得<<4，所以選B．

已知函數(shù)f（x）=x3+2bx2+cx－2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x－10．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）設函數(shù)g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g（x）取得極值時對應的自變量x的值．

破解思路 用導數(shù)的幾何意義研究切線方程時要注意該點是否在曲線上． “三次型”函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù)，我們往往可以通過研究二次函數(shù)的根的分布問題來解決此類題目．

參考答案 （1）由已知，切點為（2，0），故有f（2）=0，即4b+c+3=0．①

又f ′（x）=3x2+4bx+c，由已知f ′（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0． ②

聯(lián)立①②，解得b=－1，c=1，所以函數(shù)的解析式為f（x）=x3－2x2+x－2．

（2）因為g（x）=x3－2x2+x－2+mx，令g′（x）=3x2－4x+1+m=0，當函數(shù)有極值時，則Δ≥0，方程3x2－4x+1+m=0有實數(shù)解， 由Δ=4（1－m）≥0，得m≤1．

①當m=1時，g′（x）=0有實數(shù)根x=，在x=左右兩側均有g′（x）>0，故函數(shù)g（x）無極值．

②當m<1時，g′（x）=0有兩個實數(shù)根x1=（2－），x2=（2+），g′（x），g（x）情況如表2所示：

表2

所以在m∈（－∞，1）時，函數(shù)g（x）有極值．當x=（2－）時，g（x）有極大值；當x=（2+）時，g（x）有極小值．

已知函數(shù)f（x）=alnx－ax－3（a∈R）．

（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（2）函數(shù)f（x）的圖象在x=4處切線的斜率為，若函數(shù)g（x）=x3+x2f ′（x）+在區(qū)間（1，3）上不是單調函數(shù)，求m的取值范圍．

破解思路 討論函數(shù)的單調性其實就是討論不等式的解集的情況，大多數(shù)情況下是歸結為一個含參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論． 討論函數(shù)的單調性是在函數(shù)的定義域內進行的，不要忽視了定義域的限制．

經(jīng)典答案 （1）f ′（x）=（x>0）． 當a>0時， f（x）的單調增區(qū)間為（0，1］，減區(qū)間為［1，+∞）；

當a<0時， f（x）的單調增區(qū)間為［1，+∞），減區(qū)間為（0，1］；

當a=0時， f（x）不是單調函數(shù)．

（2）f ′（4）=－=得a=－2， f（x）= －2lnx+2x－3，所以g（x）=x3++2#8226;x2－2x，所以g′（x）=x2+（m+4）x－2．

因為g（x）在區(qū)間（1，3）上不是單調函數(shù)，且g′（0）=－2，所以g′（1）<0，g′（3）>0， 所以m<－3，m>－，m∈－，－3．

1． 串聯(lián)情況：函數(shù)應用題與綜合應用題是最能體現(xiàn)考生函數(shù)水平的試題：一次函數(shù)、二次函數(shù)、y=x+（a＞0）型、指數(shù)型、對數(shù)型與現(xiàn)實生活相結合，考查建模能力，而函數(shù)與數(shù)列、不等式、導函數(shù)等眾多知識的交匯已經(jīng)成為函數(shù)綜合應用中的典型問題．

2． 考情分析：函數(shù)應用問題是高考的熱點，高考對應用題的考查即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢． 高考中重視考查環(huán)境保護及數(shù)學課外的綜合性應用題等問題． 出于“立意”和創(chuàng)設情景的需要，函數(shù)試題設置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考查，加大函數(shù)應用題、探索題、開放題和信息題的考查力度，從而使高考考題顯得新穎、生動和靈活．

3． 破解技巧：解函數(shù)應用問題的步驟（四步八字）

（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；

（2）建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；

（3）求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；

（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．

4． 經(jīng)典例題：

行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離． 為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路上進行測試，測試所得數(shù)據(jù)如表3． 在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.13 m，則該汽車在剎車時的速度是多少？

破解思路 所求問題為根據(jù)表3數(shù)據(jù)，建立描述v與s之間關系的數(shù)學模型的問題． 此模型不能由表格中的數(shù)據(jù)直接看出，因此，以剎車時車速v為橫軸，以剎車距離s為縱軸建立直角坐標系． 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點圖，可看出應選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)．

經(jīng)典答案 假設變量v與s之間有如下關系式：s=av2+bv+c，因為車速為0時，剎車距離也為0，所以二次曲線的圖象應通過原點（0，0）． 再在散點圖中任意選取兩點A（30，7．30），B（80，44．40）代入，解出a，b，c，于是s=0.0062v2+0.0563v． （代入其他數(shù)據(jù)有偏差是許可的）

將s=15．13代入得15.13=0.0062v2+0.0563v，解得v≈45.07．

所以，汽車在剎車時的速度是45.07km/h．

如圖2，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．

圖2

（1）求面積S以x為自變量的函數(shù)關系式，并寫出其定義域；

（2）求面積S的最大值．

破解思路 梯形面積是“上底加下底，乘以高除以2”，題目中已經(jīng)給出梯形的上、下底分別為2x和2r，但是其高是多少呢？這顯然取決于橢圓的形狀． 又橢圓的方程正是這一形狀的“數(shù)”的表示，有了方程就可知高與x的關系，進而梯形的面積S與x的關系式（目標函數(shù)）也就不難寫出來了．以導數(shù)為工具求函數(shù)S（x）的最大值是比較自然而常規(guī)的方法．

經(jīng)典答案 （1）以AB的中點O為原點建立直角坐標系，則點C在橢圓+=1（y≥0）上，所以S=2（x+r）#8226;，定義域為｛x0

（2）記f（x）=S2=4（x+r）2（r2－x2）（00；當

1． 認真落實本章的每個知識點，注意揭示概念的數(shù)學本質． 從“數(shù)”和“形”兩個方面體會并加強對一些小結論形成過程的理解．

2． 以函數(shù)知識為依托，滲透基本數(shù)學思想和方法的復習． 要充分重視運用方程與函數(shù)、等價轉換、分類討論及數(shù)形結合等數(shù)學思想，運用分離變量方法和解析幾何方法解決函數(shù)的相關問題，并圍繞函數(shù)單調性分析解決函數(shù)綜合問題．

3． 深刻理解函數(shù)的概念，加強與各章知識的橫向聯(lián)系；養(yǎng)成自覺運用函數(shù)觀點思考和處理問題的習慣；要能在實際問題中引進變量，建立函數(shù)模型，進而提高解決應用題的能力，培養(yǎng)函數(shù)的應用意識．