2012年高考必做客觀題——三角與向量題

平面向量基本定理

（★★★）必做1 已知向量a=（1，2），b=（1，1），且a與a+λb的夾角為銳角，則λ的取值范圍為_________.

精妙解法 由于a與a+λb的夾角為銳角的充要條件為a·（a+λb）>0，且a與a+λb不共線，所以由a·（a+λb）>0解得，λ>－. 由a與a+λb共線有λ=0，即a與a+λb不共線時有λ≠0. 所以λ的取值范圍為：λλ>-，且λ≠0.

極速突擊 找出兩非零向量夾角為銳角的充要條件即可順利求解. 在遇到此類問題時，同學們一定仔細分析，得到正確的求解思路，不要漏掉條件.

誤點警示 設a與a+λb的夾角為θ，則a·（a+λb）=a·a+λbcosθ. 由題意得，a與a+λb均不是零向量，且θ為銳角，所以a·（a+λb）>0，解得λ>－，所以λ的取值范圍為：λλ>-.

錯解分析：兩向量夾角θ的取值范圍是［0，π］，當θ=0時，有cosθ=1>0，此時非零向量a，b仍滿足a·b>0. 因此，a·b>0是兩非零向量a，b的夾角為銳角的必要不充分條件. 事實上，兩非零向量的夾角為銳角的充要條件為a·b>0，且a不平行于b.

（★★★★）必做2 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為90°． 如圖1所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動，若=x+y，其中x，y∈R，則xy的取值范圍是________．

精妙解法 由=x+y2=x22+y22+2xy·． 又===1，·=0，所以1=x2+y2≥2xy，得xy≤． 而點C在以O為圓心的圓弧上變動，得x，y∈［0，1］，于是0≤xy≤．

圖1

金刊提醒

同學們要掌握平面向量線性運算的三種形式，學會利用平面向量數和形的雙重屬性，借助平面圖形的幾何性質簡化運算. 下面兩條性質在解題中經常用到.

（1）已知A，B，C三點在直線l上，且不過點O，則有=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，反之亦然.

（2）已知A，B，C三點不共線，且點O滿足++=0，則O為△ABC的重心.

感興趣的同學還可以找一找三角形的內心、外心、垂心等的向量表示.

平面向量的數量積及其應用

（★★★）必做3 已知向量a，b滿足a=2，b=1，a－b=2．

（1）a·b=_____________；

（2）a+b=___________．

精妙解法 （1）由a－b2=a2-2a·b+b2=4+1-2a·b=4，得a·b=．

（2）a+b2=a2+2a·b+b2=4+2×+1=6，所以a+b=．

極速突擊 由于向量自身的數形二象性，涉及兩個不共線向量a，b 及a－b，a+b時，可以考慮從解三角形的角度入手解決. 對于平行四邊形而言，注意下面的性質：a+b2+a－b2=2（a2+b2）. 另外，本題還有另一種比較典型的解法：由數量積的定義知，只需求出向量a與b的夾角〈a，b〉，利用向量的三角形法則，容易知道〈a，b〉是邊長分別為1，2，2的等腰三角形的底角，因此，由余弦定理或者余弦函數的定義可得cos〈a，b〉=，這樣a·b=. 計算a+b，只需由a+b取與自身的數量積運算即可.

（★★★）必做4 設a，b是夾角為60°的單位向量，若c是單位向量，則（a－c）·（b+c）的取值范圍是________．

精妙解法 根據已知a·b=且a－b=c=1． 由于（a－c）·（b+c）=a·b+a·c－c·b－c2=（a－b）·c－． 設a－b與c的夾角為θ，則（a－b）·c=a－bccosθ=cosθ∈［－1，1］，故－≤（a－b）·c－≤，即（a－c）·（b+c）∈－，．

（★★★★★）必做5 已知向量m，n的夾角為，且m=，n=2. 在△ABC中，=2m+2n，=2m－6n，D為BC邊的中點，則=______.

精妙解法 在△ABC中，因為=2m+2n，=2m－6n，D為BC邊的中點，

所以=（+）=2m－2n，又m·n=2cos=3，所以2=（2m－2n）2=4m2－8m·n+4n2=4，即=2.

極速突擊 利用向量與其自身的數量積運算可以得到該向量的模長，這一點在計算三角形的邊長時非常有用. 大家要明確數量積也是一種必要的運算形式，對于解決有關長度和角度的問題非常有效.

金刊提醒

平面向量的數量積運算得到的結果是實數，同學們要明確數量積的運算不滿足消去律，尤其是必須掌握數量積的基底形式的運算和坐標形式的運算. 利用平面向量的數量積運算能夠解決平面幾何中的有關角度和邊長的問題，大家要熟記平面向量數量積運算的兩個重要的變式：

（1）a2=a·a=a2；（2）cos〈a，b〉=.

三角形形狀判定

（★★★★）必做6 已知P為△ABC內部任一點（不包括邊界），且（－）·（+－2）=0，則△ABC一定為（ ）

A． 直角三角形

B． 等邊三角形

C． 等腰直角三角形

D． 等腰三角形

精妙解法（－）·（＋－2）＝·（－＋－）=·（＋）＝（－）·（＋）＝2－2=0，所以=，即三角形為等腰三角形． 選D．

極速突擊 涉及三角形的形狀判定，無外乎有兩種方法，一是從角考慮，二是從邊考慮．

（★★★★★）必做7 若△ABC的三內角滿足sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶6，則△ABC的形狀（ ）

A． 一定是銳角三角形

B． 一定是直角三角形

C． 一定是鈍角三角形

D． 可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形

精妙解法 因為sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶6，由正弦定理得，a∶b∶c=3∶4∶6，因此c所對的內角C是最大角. 由余弦定理得，cosC=<0，所以C為鈍角，即△ABC一定是鈍角三角形. 選C.

極速突擊 由選項可以得到暗示——只需考慮最大邊對應的最大角的取值范圍即可. 容易想到利用正弦定理進行邊角互化，再用余弦定理確定角的取值范圍.

金刊提醒

一般地，同學們還需熟記這兩條結論——在任意△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，則有：（1）sinA>sinBA>Ba>b；（2）cosA+cosB>0，cosA+cosC>0，cosC+cosB>0.

正弦定理、余弦定理

（★★★★★）必做8 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊. 已知∠A=45°，a=，b=3，則∠B＝___.

精妙解法 由正弦定理得，=，所以sinB==.

又0

因為a=<3=b，即∠A<∠B，所以∠B=60°或∠B=120°.

極速突擊 已知兩邊及一邊對角解三角形時，最直接的方法是利用正弦定理. 同學們要特別注意，在這類問題中三角形可能不能確定位置，即存在多解情況.

（★★★★）必做9 在△ABC中，BC=1，∠B=，當△ABC的面積等于時，tanC=________．

精妙解法 S△ABC=acsinB=，所以c=4，由余弦定理：b2=a2+c2－2accosB=13，所以cosC== －，sinC=，所以tanC==－2．

（★★★★）必做10 在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，如果a，b，c成等差數列，B=，△ABC的面積為，則b的長度為（ ）

A.

B. 1+

C.

D. 2+

精妙解法 由題意得，

2b=a+c，b2=a2+c2－2accos，acsin=

即2b=a+c，b2=a2+c2－ac，ac=6所以b2=（a+c）2－（+2）ac=4b2－6（+2），即b2=（1+）2，所以b=1+. 選B.

金刊提醒

不論是向量背景的解三角形問題還是實際應用下的解三角形問題，我們始終要明確在哪一個三角形中，需要借助什么定理，得到所需的量，最終獲得問題的解. 在一些研究最值的問題中，必須借助函數的手段，驗證最值取等號的條件是否具備. 一般地，解三角形問題主要有以下四類問題：已知兩邊及其夾角求其他，利用余弦定理，此時三角形唯一確定；已知三邊求其他，利用余弦定理，此時三角形唯一確定；已知兩邊及一邊對角求其他，利用正弦定理，此時三角形可能不唯一；已知兩角及一邊求其他，利用正弦定理，此時三角形唯一.