2012年高考必做解答題——三角函數(shù)題

解三角形

（★★★★）必做1 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosB=．

（1）求sin2B+cos2的值；

（2）若b=，求△ABC面積的最大值．

破解思路 本題以三角形為載體，考查三角變換與正、余弦定理． 第1問(wèn)運(yùn)用倍角公式和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行運(yùn)算；第2問(wèn)運(yùn)用余弦定理和基本不等式求面積的最大值．

精妙解法 （1）因?yàn)閏osB=，所以sinB=． 又sin2B+cos2=2sinBcosB+cos2=2sinBcosB+（1－cosB）=2××+=．

（2）由已知得cosB==． 又b=，所以a2+c2－3=ac． 因?yàn)閍2+c2=ac+3≥2ac，所以ac≤6，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí)，ac取得最大值． 此時(shí)S△ABC=acsinB≤×6×=，所以△ABC的面積的最大值為．

（★★★★）必做2 如圖1，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)4 km后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍3.5 km范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．

圖1

（1）若α=2β=60°，問(wèn)該船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)． 如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果有，那么該船自B處向東航行多少距離會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？

（2）當(dāng)α與β滿足什么條件時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？

破解思路 認(rèn)真審題，抓住臨界位置，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，在三角形中運(yùn)用正、余弦定理解決．

精妙解法 （1）作MC⊥AB，垂足為C，由已知α=60°，β=30°，所以∠ABM=120°，∠AMB=30°，所以BM=AB=4，∠MBC=60°，所以MC=BM·sin60°=2<3.5，所以該船有觸礁的危險(xiǎn)． 設(shè)該船自B向東航行至點(diǎn)D有觸礁危險(xiǎn)，則MD=3.5，在△MBC中，BM=4，BC=2，MC=2，CD==0.5，所以，BD=1.5（km）． 所以，該船自B向東航行1.5 km會(huì)有觸礁危險(xiǎn)．

（2）設(shè)CM=x，在△MAB中，由正弦定理得，=，即=，BM=． 而x=BM·sin∠MBC=BM·cosβ=，所以，當(dāng)x>3.5，即>，即>時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．

金刊提醒

不論是向量背景的解三角形問(wèn)題還是實(shí)際應(yīng)用背景下的解三角形問(wèn)題，大家都要明確在哪一個(gè)三角形中，需要借助什么定理，得到所需的量，最終獲得問(wèn)題的解. 在一些研究最值得問(wèn)題中，必須借助函數(shù)的手段，驗(yàn)證最值取等條件是否具備.

三角函數(shù)的和差倍角運(yùn)算

（★★★★）必做3 已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－3，）．

（1）求sin2α－tanα的值；

（2）若函數(shù)f（x）=cos（x－α）cosα－sin（x－α）sinα，求函數(shù)y=·f－2x－2f 2（ｘ）在區(qū)間0，上的取值范圍．

破解思路 本題考查三角函數(shù)的定義、和差、倍角公式以及三角函數(shù)在指定區(qū)間上的取值范圍． 第1問(wèn)運(yùn)用三角函數(shù)的定義及倍角公式求解；第2問(wèn)先逆用和角的余弦公式把f（x）化簡(jiǎn)，再運(yùn)用倍角公式求函數(shù)在指定區(qū)間上的取值范圍．

精妙解法 （1）因?yàn)榻铅两K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－3，），所以sinα=，cosα=－，tanα=－，所以sin2α－tanα=2sinαcosα－tanα=－+=－．

（2）因?yàn)閒（x）=cos（x－α）cosα－sin（x－α）sinα=cosx，所以y=·f－2x－2f 2（ｘ）=sin2x－1－cos2x=2sin2x－－1． 因?yàn)?≤x≤，所以0≤2x≤，所以－≤2x－≤，所以－≤sin2x－≤1，所以－1≤2sin2x－≤2，故y∈［－2，1］．

（★★★★）必做4 已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx， f ′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（1）求函數(shù)F（x）=f（x）f ′（x）+f 2（x）的最大值和最小正周期；

（2）若f（x）=2f′（x），求的值．

破解思路 本題實(shí)際是研究給定三角函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，第1問(wèn)所需研究的三角函數(shù)需要先通過(guò)求三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)才能得到其具體形式；第2問(wèn)實(shí)際由求導(dǎo)函數(shù)、同角三角函數(shù)的齊次式的給值求值問(wèn)題共同組成，可按序逐一破解．

精妙解法 （1）由已知得f ′（ｘ）=cosx－sinx，故F（ｘ）=（sinx+cosx）（cosx－sinx）+（sinx+cosx）2=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=sin2x++1，其最大值為1+，最小正周期為π．

（2）若f（x）=2f ′（x），則cosx+sinx=2（cosx－sinx），得tanx=． ===．

金刊提醒

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式在高考考查中，更多是體現(xiàn)其工具作用. 同學(xué)們?cè)谡莆者@些知識(shí)點(diǎn)時(shí)，要熟悉各個(gè)公式的特征及使用要求. 在實(shí)際解題時(shí)，還要靈活選用.

三角函數(shù)的性質(zhì)

（★★★★）必做5 已知函數(shù)f（x）=2cosx·sinx+－sin2x+sinx·cosx．

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m>0）個(gè)單位得到函數(shù)g（x），若g（x）為偶函數(shù)，求m的最小值．

破解思路 本題先運(yùn)用三角公式將f（x）化簡(jiǎn)成Asin（ωx+φ）的形式，第1問(wèn)運(yùn)用整體的思想求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；第2問(wèn)利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求出m的最小值．

精妙解法 f（x）=2cosx·sinx+－sin2x+sinx·cosx=2cosxsinxcos+cosxsin－·sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin2x+．

（1）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是+kπ，+kπ（k∈Z）．

（2）g（x）=2sin2（x－m）+=2sin2x－2m+，要使函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，則－2m+=kπ+（k∈Z）．

又m>0，所以k=－1時(shí)，m取得最小正值．

（★★★）必做6 設(shè)函數(shù)f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ－sinx（0<φ<π）在x=π處取最小值.

（1）求φ的值；

（2）在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知a=1，b=， f（A）=，求角C.

破解思路 本題主要應(yīng)結(jié)合三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，注意到取到最小值時(shí)的條件，及角的取值范圍.

精妙解法 （1）由條件有， f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ－sinx=2sinx·+cosxsinφ－sinx=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ－sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）. 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=π處取最小值，所以sin（π+φ）=－1，由誘導(dǎo)公式知，sinφ=1，因?yàn)?<φ<π，所以φ=，所以f（x）=sinx+=cosx.

（2）由（1）知， f（A）=cosA=，所以A=. 因?yàn)閍=1，b=，所以由正弦定理得，=，即sinB==. 因?yàn)閎>a，所以B=或B=. 當(dāng)B=時(shí)，C=π－－=；當(dāng)B=時(shí)，C=π－－=.

極速突擊 本題是一道向量與三角函數(shù)的小綜合題目，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握三角函數(shù)圖象的特征，三角函數(shù)的誘公式等內(nèi)容.

（★★★★）必做7 已知△ABC中，AC=1，∠ABC=，∠BAC=x，記f（x）=·．

（1）求f（x）解析式及定義域．

（2）設(shè)g（x）=6m·f（x）+1，x∈0，，是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）的值域?yàn)?，？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

破解思路 第1問(wèn)已知一邊及兩角，故用正弦定理求出AB與BC，再利用向量的數(shù)量積求f（x）的解析式，一切都是按部就班地進(jìn)行；第2問(wèn)需注意對(duì)m進(jìn)行分類討論（此處是易錯(cuò)點(diǎn)），利用函數(shù)值域建立關(guān)于m的方程．

精妙解法 （1）由正弦定理有：

==，所以BC==sinx，AB==sin-x，所以f（x）=·=sinx·sin-x·=cosx－sinxsinx=·sin2x+－0

（2）g（x）=6mf（x）+1=2m·sin2x+－m+10

假設(shè)存在實(shí)數(shù)m符合題意，因?yàn)閤∈0，，所以<2x+<，則sin2x+∈，1．

當(dāng)m>0時(shí)，g（x）=2msin2x+－m+1的值域?yàn)椋?，m+1］．

又g（x）的值域?yàn)?，，此時(shí)m=；

當(dāng)m<0時(shí)，g（x）=2msin2x+－m+1的值域?yàn)椋踡+1，1）．

又g（x）的值域?yàn)?，，解得m無(wú)解，所以存在實(shí)數(shù)m=，使函數(shù)f（x）的值域恰為1，

金刊提醒

解決三角函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象分析函數(shù)性質(zhì).