2012年高考必做客觀題——概率統(tǒng)計(jì)題

古典概型

（★★★★）必做1 已知函數(shù)f（x）=x3－ax+b，其中實(shí)數(shù)a，b是常數(shù)．已知a∈｛0，1，2｝，b∈｛0，1，2｝，則事件A“f（1）≥0”發(fā)生的概率是________．

精妙解法 當(dāng)a∈｛0，1，2｝，b∈｛0，1，2｝時(shí)，等可能發(fā)生的基本事件（a，b）共有9個(gè)：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）． 其中事件A“f（1）=－a+b≥0”，包含6個(gè)基本事件：（0，0），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，2），故P（A）=．

極速突擊 關(guān)于基本事件的計(jì)算，如果試驗(yàn)比較簡(jiǎn)單，可以用列舉法，如果試驗(yàn)比較復(fù)雜就要借助計(jì)數(shù)原理．窮舉法就是將所要解決的問(wèn)題情形按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分并逐一列舉出來(lái)，常見(jiàn)的窮舉法有列表法和樹(shù)枝法． 解答基本事件較少的古典概型的概率時(shí)，利用窮舉法可以有效地避免重復(fù)和遺漏，解答更簡(jiǎn)潔明快．

（★★★）必做2 設(shè)集合A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P（a，b），記“點(diǎn)P（a，b）落在直線x+y=n上”為事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為_(kāi)_______.

精妙解法 點(diǎn)P（a，b）的所有可能值為（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）. 注意點(diǎn)P落在直線x+y=n（2≤n≤5）上時(shí)事件Cn的概率，當(dāng)n=2時(shí)，點(diǎn)P只能是（1，1）；當(dāng)n=3時(shí)，點(diǎn)P為（1，2）和（2，1）；當(dāng)n=4時(shí)，點(diǎn)P為（1，3）和（2，2）；當(dāng)n=5時(shí)，點(diǎn)P只能是（2，3）. 要使Cn概率最大，則n的所有可能值為3和4.

極速突擊 求解本題，首先得利用窮舉法計(jì)數(shù)列出點(diǎn)P的所有可能的值，再通過(guò)分類(lèi)解析事件Cn的概率，從而獲得結(jié)論.

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求解古典概型由三步完成．第一步，求解試驗(yàn)所有基本事件數(shù)n；第二步，求解隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)m（注意要不重不漏）；第三步，運(yùn)用古典概型計(jì)算公式P（A）=． 較為復(fù)雜的概率問(wèn)題其處理方法：一是轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和，利用互斥的加法公式進(jìn)行計(jì)算；二是采用間接法，先求事件A的對(duì)立事件的概率，由P（A）=1－P（）求事件A的概率．

幾何概型

（★★★）必做3 如圖1所示，利用隨機(jī)模擬的方法可以估計(jì)圖中由曲線y=與兩直線x=2及y=0所圍成的陰影部分的面積S：（1）先產(chǎn)生兩組0~1的均勻隨機(jī)數(shù)，a=RAND（ ），b=RAND（ ）；（2）做變換，令x=2a，y=2b；（3）產(chǎn)生N個(gè)點(diǎn)（x，y），并統(tǒng)計(jì)滿(mǎn)足條件y<的點(diǎn)（x，y）的個(gè)數(shù)N1． 已知某同學(xué)用計(jì)算器做模擬試驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)N=1000時(shí)，N1=332，則據(jù)此可估計(jì)S=_________．

精妙解法 由題意可得=，=，解得S=1.328．

極速突擊 由統(tǒng)計(jì)落在所求區(qū)域的隨機(jī)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與落在正方形中的隨機(jī)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們就可以根據(jù)比例關(guān)系求得所求區(qū)域面積的近似值．

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構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的幾何度量（長(zhǎng)度、面積或體積）來(lái)求概率是幾何概型計(jì)算事件概率的顯著特征. 常見(jiàn)的幾何概型有三類(lèi)：

（1）向線段L任投一點(diǎn)P，符合事件A的點(diǎn)P構(gòu)成線段l，則P（A）=；

（2）向平面區(qū)域G任投一點(diǎn)P，符合事件A的點(diǎn)P構(gòu)成平面區(qū)域g，則P（A）=；

（3）向空間區(qū)域V任投一點(diǎn)P，符合事件A的點(diǎn)P構(gòu)成空間區(qū)域v，則P（A）=；

相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及互斥事件的概率

（★★★★）必做4 甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地進(jìn)行某項(xiàng)技能測(cè)試，已知甲能通過(guò)測(cè)試的概率是，甲、乙、丙三人都能通過(guò)測(cè)試的概率是，甲、乙、丙三人都不能通過(guò)測(cè)試的概率是，且乙通過(guò)測(cè)試的概率比丙大，則乙、丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是________．

精妙解法 設(shè)乙、丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是x，y，依題意得：

xy=，（1－x）（1－y）=，即x=，y= 或x=，y= （舍去）

所以乙、丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是，．

極速突擊 相互獨(dú)立事件的特點(diǎn)是：①對(duì)兩個(gè)事件而言；②其中一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．解決問(wèn)題時(shí)要有列方程的思想方法．

（★★★★）必做5 某果園要用三輛汽車(chē)將一批水果從所在城市E運(yùn)至銷(xiāo)售城市F，已知從城市E到城市F有兩條公路． 統(tǒng)計(jì)表明：汽車(chē)走公路I堵車(chē)的概率為，不堵車(chē)的概率為；走公路II堵車(chē)的概率為，不堵車(chē)的概率為． 若甲、乙兩輛汽車(chē)走公路I，第三輛汽車(chē)丙由于其他原因走公路II運(yùn)送水果，且三輛汽車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響，則三輛汽車(chē)中至少有兩輛堵車(chē)的概率是_______．

精妙解法 記“汽車(chē)甲走公路Ⅰ堵車(chē)”為事件A，“汽車(chē)乙走公路Ⅰ堵車(chē)”為事件B，“汽車(chē)丙走公路Ⅱ堵車(chē)”為事件C． 于是甲、乙、丙三輛汽車(chē)中至少有兩輛堵車(chē)的概率為P＝P（A·B·）＋P（A··C）＋P（·B·C）＋P（A·B·C）＝××＋××＋××＋××＝．

極速突擊 在解此類(lèi)題時(shí)，要明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”、“至多有一個(gè)發(fā)生”、“恰有一個(gè)發(fā)生”、“都發(fā)生”、“都不發(fā)生”、“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的含義，以免混淆． 理解事件的相互獨(dú)立性并熟練運(yùn)用公式是解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．

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解決相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及互斥事件的試題，關(guān)鍵是要明確其類(lèi)型，正確運(yùn)用公式，從不同角度、不同側(cè)面對(duì)題目進(jìn)行分析，不斷尋找思路.

隨機(jī)抽樣

（★★★）必做6 某校對(duì)全校男女學(xué)生共1600名進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為200的樣本． 已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是_______人．

精妙解法 設(shè)女生有x人，則男生為1600－x人，由于是從1600名學(xué)生中抽取200名，故由題意可得+10=，解得x=760，于是女生人數(shù)為760．

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常見(jiàn)的隨機(jī)抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，都是不放回抽樣，它們之間的聯(lián)系和區(qū)別如表1所示：

用樣本估計(jì)總體

（★★★）必做7 某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在暑假期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)活動(dòng)）． 該校文學(xué)社共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖2所示，則該文學(xué)社學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為_(kāi)_______；從文學(xué)社中任意選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)不同的概率是__________．

圖2

精妙解法 由統(tǒng)計(jì)圖知該文學(xué)社學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為=2.2；從中任意選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)不同的概率是=．

（★★★）必做8 某地為了建立幸福指標(biāo)體系，決定用分層抽樣的方法從公務(wù)員、教師、自由職業(yè)者三個(gè)群體的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2（單位：人），則研究小組的總?cè)藬?shù)為_(kāi)_______；若從研究小組的公務(wù)員和教師中隨機(jī)選2人撰寫(xiě)研究報(bào)告，則其中恰好有1人來(lái)自公務(wù)員的概率是________．

表2

精妙解法 依題意，==，解得y=3，x=2，故研究小組的總?cè)藬?shù)為2+3+4=9（人）． 設(shè)研究小組中公務(wù)員為a1、a2，教師為b1、b2、b3，從中隨機(jī)選2人，不同的選取結(jié)果有：a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a2b1、a2b2、a2b3、b1b2、b1b3、b2b3，共10種，其中恰好有1人來(lái)自公務(wù)員的結(jié)果有：a1b1、a1b2、a1b3、a2b1、a2b2、a2b3，共6種，所以恰好有1人來(lái)自公務(wù)員的概率為0.6．

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莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是統(tǒng)計(jì)圖表，它們各有優(yōu)缺點(diǎn)，從統(tǒng)計(jì)圖表中提取有效信息是解題的關(guān)鍵. 以頻率分布直方圖為例，①頻率分布直方圖中矩形的面積表示頻率，所有矩形的面積的和為1；②眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③中位數(shù)是頻率分布直方圖中矩形的面積等于時(shí)矩形底邊對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；④平均數(shù)是頻率分布直方圖中每個(gè)矩形的面積乘以該矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

變量的相關(guān)性

（★★★）必做9 把容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫(xiě)頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為_(kāi)__________．

精妙解法 已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問(wèn)題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為1－0.79=0.21． 由已知得前七組的累積頻數(shù)為0.79×100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21． 所以a1=1，q=4． 所以后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16．

（★★★）必做10 某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表，如表3所示. 由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程=－2x+，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為_(kāi)_______．

表3

精妙解法 因?yàn)?=10，==40，所以線性回歸方程=－2x+必過(guò)點(diǎn)（10，40）. 所以40= －2×10+，故=60，=－2x+60. 所以當(dāng)x=－4時(shí)，=68，即當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，預(yù)測(cè)用電量的度數(shù)約為68.

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同學(xué)們一定要會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；若有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，結(jié)合“最小二乘法”的思想，能夠根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程（即=x+，其中=，=ｙ－ｘ），以及能根據(jù)建立的線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè).

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差

（★★★★）必做11 已知隨機(jī)變量X的分布列為：

則E（X）=______；若Y=5X+4，則E（Y）=________．

精妙解法 由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知0.4+m+0.3=1，解得m=0.3，所以E（X）=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8． 由Y=5X+4知E（Y）=E（5X+4）=5E（X）+4=5×1.8+4=13．

極速突擊 求期望關(guān)鍵是求分布列，然后直接套用期望公式；對(duì)于aX+b型的隨機(jī)變量，利用期望的性質(zhì)E（aX+b）=aE（X）+b求解較簡(jiǎn)潔．

（★★★★）必做12 甲、乙、丙三人射擊同一目標(biāo)，各射擊一次，已知甲擊中目標(biāo)的概率為，乙與丙擊中目標(biāo)的概率分別為m、n（m>n）． 每人是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的．記目標(biāo)被擊中的次數(shù)為ξ，且ξ的分布列如表：

則m=________；n＝_________；ξ的數(shù)學(xué)期望是_________．

精妙解法 由題設(shè)可得P（ξ=0）=（1－m）（1－n）=，化簡(jiǎn)得mn－（m+n）=－；①

P（ξ=1）=（1－m）（1－n）+m（1－n）+（1－m）n=－（m+n）－mn=，所以2（m+n）+2mn=3． ②

聯(lián)立①②可得m=，n=．

又由題設(shè)得：b=p（ξ=3）=××=，所以a=1－++=，

所以Eξ=．

極速突擊 求期望和方差的關(guān)鍵是列出分布列，而求離散型隨機(jī)變量的分布列常分三個(gè)步驟進(jìn)行：第一步是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及理解取每個(gè)值所表示的意義；第二步是求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率，正確運(yùn)用排列與組合知識(shí)是關(guān)鍵；第三步是按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證分布列是否正確．

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（★★★★）必做11 已知隨機(jī)變量X的分布列為：

則E（X）=______；若Y=5X+4，則E（Y）=________．

精妙解法 由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知0.4+m+0.3=1，解得m=0.3，所以E（X）=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8． 由Y=5X+4知E（Y）=E（5X+4）=5E（X）+4=5×1.8+4=13．

極速突擊 求期望關(guān)鍵是求分布列，然后直接套用期望公式；對(duì)于aX+b型的隨機(jī)變量，利用期望的性質(zhì)E（aX+b）=aE（X）+b求解較簡(jiǎn)潔．

（★★★★）必做12 甲、乙、丙三人射擊同一目標(biāo)，各射擊一次，已知甲擊中目標(biāo)的概率為，乙與丙擊中目標(biāo)的概率分別為m、n（m>n）． 每人是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的．記目標(biāo)被擊中的次數(shù)為ξ，且ξ的分布列如表：

則m=________；n＝_________；ξ的數(shù)學(xué)期望是_________．

精妙解法 由題設(shè)可得P（ξ=0）=（1－m）（1－n）=，化簡(jiǎn)得mn－（m+n）=－；①

P（ξ=1）=（1－m）（1－n）+m（1－n）+（1－m）n=－（m+n）－mn=，所以2（m+n）+2mn=3． ②

聯(lián)立①②可得m=，n=．

又由題設(shè)得：b=p（ξ=3）=××=，所以a=1－++=，

所以Eξ=．

極速突擊 求期望和方差的關(guān)鍵是列出分布列，而求離散型隨機(jī)變量的分布列常分三個(gè)步驟進(jìn)行：第一步是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及理解取每個(gè)值所表示的意義；第二步是求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率，正確運(yùn)用排列與組合知識(shí)是關(guān)鍵；第三步是按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證分布列是否正確．

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正確解答離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題，一方面要妙用分布列的性質(zhì)“概率和為1”，另一方面要明確各類(lèi)事件，如等可能性事件、對(duì)立事件、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)事件等，從而正確進(jìn)行概率的運(yùn)算.

正態(tài)分布

（★★★）必做13 已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），若P（ξ<3.5）=0.8，則P（ξ<0.5）等于（ ）

A． 0.1 B． 0.2 C． 0.4 D． 0.6

精妙解法 因?yàn)閡=2，所以P（ξ<3.5）=P（ξu+1.5）=0.2.所以P（ξ<0.5）=P（ξu+1.5）=0.2，選B.

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正態(tài)分布問(wèn)題關(guān)鍵是抓住兩個(gè)參數(shù)μ和σ，其中μ表示隨機(jī)變量的均值，σ表示隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，同學(xué)們應(yīng)明確正態(tài)曲線以下性質(zhì)：（1）曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng)；（2）曲線在x=μ處達(dá)到峰值，峰值越大，σ越?。唬?）曲線與x軸之間的面積為1.