2012年高考必做客觀題——三角函數題

三角函數的定義

（★★★）必做1 角α的終邊過點P（－8m，－6sin30°），且cosα=－，則m=________．

精妙解法 由三角函數的定義有r=，所以cosα==－，所以m>0，所以=，所以m=． 選B．

極速突擊 我們在利用三角函數定義求角或函數值時，依然將其置于直角三角形求解，只不過要注意角所在象限．

（★★★★）必做2 已知銳角α終邊上一點Psin，cos，則α的值為_________.

精妙解法 由條件知，點P顯然在單位圓上，所以sinα=cos=cos-=sin. 又α是銳角，故α=.

極速突擊 求角的通法就是求它的個某三角函數值，進而利用角的取值范圍確定角. 不同名的三角函數關系要先轉化為同名的三角函數關系，即可得到角.

金刊提醒

利用三角函數值求角，要注意角的取值范圍及三角函數的單調性.

同角三角函數的關系及誘導公式

（★★★）必做3 已知0

精妙解法 由條件知（sinx－cosx）2=，因此sinxcosx=． 故tanx+=+==，所以a+b+c=32+16+2=50．

極速突擊 切弦互化是經常用到的策略．

（★★★）必做4 若sin（3π－α）=cos+β，cos（－α）= －cos（π+β），且0<α<，0<β<，則α和β的值分別為_________.

精妙解法 由已知條件得，sinα=sinβ，cosα=cosβ，將sinα=sinβ，cosα=cosβ，兩式分別平方相加得，sin2α+3cos2α=2（sin2β+cos2β）=2，即sin2α+3（1－sin2α）=2，所以sin2α=，即sinα=±. 因為0<α<，所以sinα=，所以α=. 因為sinα=sinβ，所以sinβ=. 又0<β<，所以β=.

極速突擊 在同角三角函數關系式中，平方關系的應用經常成為解題的突破口. 在三角函數值的選取上，大家應注意到角的取值范圍.

金刊提醒

同角三角函數關系和誘導公式是三角變換的基礎，同學們要熟悉常見題型及解題思路.

和差角公式運算

（★★★）必做5 已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，則cos2=________．

精妙解法 將條件兩式平方得sin2α+sin2β+2sinαsinβ=①，cos2α+cos2β+2cosαcosβ=②，①＋②有cos（α－β）=－，所以cos=．

（★★★）必做6 在△ABC中，sinA=，cosC=，則cosB=_____．

精妙解法 在△ABC中，由cosC=>0知角C為銳角，即sinC=． 又sinA=<=sinC，所以AcosA=． 由內角和定理得，B=π－（A+C），所以cosB=－cos（A+C）=sinAsinC－cosAcosC=×－×=.

誤點警示 本題極易求出兩個答案，錯誤的原因是忽略了本題是以三角形為背景命制的，在解題時只是盲目地計算三角函數值而沒有限制角A的取值范圍．

金刊提醒

兩角和差公式是三角運算的基礎，大家要注意體會公式特征，在解題時靈活選用.

倍角公式的運算

（★★★★）必做7 已知α∈，，sin－α=－，則cos2α=________．

精妙解法 因為α∈，，所以－α∈－，0． 因為sin－α=－，所以cos－α=，故cos2α=sin－2α=2sin－α·cos－α=2×－×=－．

極速突擊 對于2倍角的理解應是廣義的，比如此題中的－α與－2α具有2倍角關系，再比如與．

金刊提醒

二倍角公式常和前面所學的知識聯系在一起綜合運用.

三角函數的圖象

（★★★★）必做8 函數f（x）=Acos（ωx+φ）+k（A>0，ω>0，φ≤）的圖象如圖1，則f（x）的解析式和S=f（1）+f（2）+…+f（2012）的值分別為（ ）

圖1

A． f（x）=sin2πx+1，S=2011

B． f（x）=sinx+1，S=2011

C． f（x）=sinx+1，S=2012

D． f（x）=sinx+1，S=2012

精妙解法 觀察圖形知A=，k=1，周期T=4，所以ω=，代點1，，解得φ=－，所以f（x）=·cosx－+1=sinx+1． 由此知：f（0）=1，f（1）=，f（2）=1，f（3）=，f（4）=1，且以4為周期，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，2012=4×503，所以S=f（1）+f（2）+…+f（2012）=2012． 選D．

極速突擊 求解析式的難點是求φ，通常用代入法． 在選擇代入的點時，最好代入最值點，而非平衡點，這樣會比較簡單，建議同學們掌握這一技巧．

（★★★★）必做9 已知函數f（x）=3sin2x－的圖象為C.

①圖象C關于直線x=π對稱；

②函數f（x）在區間－，內是增函數；

③y=3sin2x的圖象向右平移個單位長度后可以得到圖象C.

以上三個論斷中，正確的論斷是________.

精妙解法 ①圖象C關于直線2x－=kπ+對稱，當k=1時，圖象C關于x=π對稱，故①正確；②x∈－，時，2x－∈－，，所以函數f（x）在區間－，內是增函數，故②正確；③y=3sin2x的圖象向右平移個單位長度后可以得到y=3sin2x－，得不到圖象C，故③錯誤，綜上，正確的結論是①②.

極速突擊 作三角函數圖象變換時，要注意到不同變換途徑的區別．下面列出了三角圖象變換的兩種途徑的差異．

（1）先相位變換后周期變換

y=sinxy=sin（x+φ）y=sin（ωx+φ）

（2）先周期變換后相位變換

y=sinxy=sinωxy=sinω（x+φ）

（★★★）必做10 已知在函數f（x）=sin的圖象上，相鄰的一個最大值點與一個最小值點恰好在圓x2+y2=R2上，則f（x）的最小正周期為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

精妙解法 令=可得，x=，即可得函數f（x）=sin在原點右側的第一個最高點的坐標為，，其在原點左側第一個最低點的坐標為－，－. 因為最高點和最低點均在圓x2+y2=R2上，所以+（）2=R2，解得R=2，所以f（x）=sin的最小正周期為T==4. 選D.

極速突擊 此題是對正弦三角函數的圖象特征的綜合考查. 在解決此類題目時，同學們要注意三角函數的曲線特征及與之對應的代數關系.

金刊提醒

處理三角函數圖象問題，首先應弄清A，ω，φ的功能. 同學們應當掌握根據三角函數解析式繪出相應曲線草圖并給出相應曲線特征的方法.

三角函數的性質

（★★★★）必做11 函數y=2·sin－2x的單調區間為_________．

精妙解法 由條件易知，y=2sin－2x=2sinπ－－2x=2sin2x+π，令u=2x+π，則y=2sinu在2kπ－，2kπ+（k∈Z）上是增函數，即2kπ－≤2x+π≤2kπ+，解得其單調遞增區間為kπ－，kπ－（k∈Z）.

誤點警示 本題的ω=－2，為負值，要先化為正值再用公式求解，但有些同學直接將ω=－2代入計算，導致錯誤．

極速突擊 求形如y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的三角函數的單調區間時，大家一定要注意ω的正負． 若ω為負值，則應該先用三角函數的誘導公式sin（π－θ）=sinθ，cos（－θ）=cosθ將ω化為正值，然后再用復合函數單調性的判定方法來求解．

（★★★★）必做12 已知函數f（x）=msinx+ncosx，且f是它的最大值（其中m、n為常數且mn≠0），給出下列命題：

①fx+是奇函數；

②函數f（x）的圖象關于點，0對稱；

③ f－是函數f（x）的最大值；

④記函數f（x）的圖象在y軸右側與直線y=的交點按橫坐標從小到大依次記為P1，P2，P3，P4，…，則P2P4=π；

⑤=1．

其中真命題的序號是______（寫出所有正確命題的序號）．

精妙解法 由題意得f（x）=msinx+ncosx=sin（x+φ）tanφ=． 因為f是它的最大值，所以+φ=2kπ+（k∈Z），φ=2kπ+．

所以f（x）=sin（x+2kπ+）=sinx+，且tanφ==tan2kπ+=1，即=1． 故f（x）=msinx+．

①fx+=msinx++=mcosx，為偶函數，①錯誤；

②當x=時，f=m·sin+=msin2π=0，所以f（x）的圖象關于點，0對稱，②正確；

③f－=msin－= －msin=－m，取得最小值，③錯誤；

④根據f（x）=msinx+可得其周期為2π，由題意可得P2與P4相差一個周期2π，即P2P4=2π，④錯誤；

⑤=1，顯然成立，⑤正確． 填②⑤．

金刊提醒

我們可以從兩個角度來理解和求解有關的性質問題.一是從“數”的角度，一定要將正弦函數、余弦函數、正切函數的性質記清楚.二是從“形”的角度，即能夠通過函數圖象來描述相應的函數性質，能夠通過圖象的運動情況來研究和解決相應的性質問題.