2012年高考必做客觀題——不等式題

不等關系

（★★）必做1 已知a＋b<0，且a>0，則（ ）

A． a2<－ab

C． a2

精妙解法 法1：因a＋b<0，且a>0，所以b<0，a2+ab=a（a+b）<0，－ab－b2=－b·（a+b）<0，故選A．

法2：因a＋b<0，且a>0，所以b<0，對a＋b<0兩邊分別同乘a和b，再移項，利用不等式的傳遞性可得A．

法3：因a＋b<0，且a>0，所以不妨取a=1，b=－2，此時a2=1，b2=4，－ab=2，顯然有a2<－ab

誤點警示 不等式兩邊只有同乘以一個正數，不等式方向才不改變；若同乘以一個負數，則要改變方向；同向不等式相乘不一定正確，只有同向的正數不等式才能相乘．特殊值法解題時，必須滿足前提條件，如a＋b<0，且a>0，即b<0

極速突擊 作差比較法是比較大小的最基本的方法，作差后一般要變形定號，有時也會先平方再作差，或采用作比比較法． 涉及不等關系的選擇題，一般來說，結合題設條件尋求特殊值法比較方便．

（★★★★）必做2 對任意x∈R，若f ′（x）>f（x）且a>0，則f（a）________ea·f（0）（填大小關系）

精妙解法 由f（a）與ea·f（0）聯想e0·f（a）與ea·f（0），進而聯想新函數ex－a與f（x）的有機組合，建構：y=，則y′=>0，所以y（a）>y（0），即f（a）>ea·f（0）．

極速突擊 此類問題關注三點：（1）單調性——作為解決問題的大方向；（2）導數應用——導數是研究函數的利器，利用一階導數研究單調性能事半功倍；（3）有機組合——在解決問題過程中，如何選擇函數和建構新函數是關鍵．

金刊提醒

靈活運用不等式的性質，可以解決比大小、證明、解不等式等許多問題．

不等式的解法

（★★★）必做3 設函數f（x）=（x+1）2，x≤－1，2x+2，－1

A． （－∞，－2）∪－，+∞

B． －，

C． （－∞，－2）∪－，1

D． －2，－∪（1，+∞）

精妙解法 由f（x）及f（a）＞1可得：a≤－1，（a+1）2>1①；或－11②；或a≥1，－1>1③；解①得a<－2，解②得－

誤點警示 每種情況之間是并集，每種情況內部是交集為兩個易錯點．

極速突擊 對每一段解不等式，同時弄清集合間的交并關系．

（★★★）必做4 已知函數y=f（ｘ）是R上的偶函數，且在（－∞，0］上單調遞減，且f（1）=0，若af（a）>0，則實數a的取值范圍是______．

圖1

精妙解法 作出函數y=f（x）在R上的大致圖象，由af（a）>0，可得當a>0時，f（a）>0，所以a>1；當a<0時，f（a）<0，所以－11．

極速突擊 解題時，應該盡量畫出函數圖象，使得問題具體化，避免因為抽象思維帶來的解題失誤，以求事半倍功．

金刊提醒

一元二次不等式的解法，可結合二次函數的圖象求解，重點突破三個二次問題的聯系．

線性規劃

（★★★）必做5 動點P（a，b）在不等式組x+y－2≤0，x－y≥0，y≥0表示的平面區域內部及其邊界上運動，則w=的取值范圍是________．

精妙解法 w==1+=1+k，k為定點（1，2）與可行域上動點連線的斜率，由數形結合得斜率k的取值范圍為（－∞，－2］∪［2，+∞），所以w=的取值范圍是（－∞，－1］∪［3，+∞）．

誤點警示 不能對w=進行合理的變形，不會用數形結合進行轉化．

極速突擊 線性規劃問題一般采用數形結合，同時要化未知為已知，化生為熟．

（★★★★）必做6 設實數a，b滿足3a－2b+1≥0，3a+2b－4≥0，a≤1，則9a2+4b2的最大值是___________．

精妙解法 令x=3a，y=2b，原不等式組可化為x－y+1≥0，x+y－4≥0，x≤3，目標函數可化為z=x2+y2=（）2，可將它看做原點與可行域上動點連線的距離的平方，作出換元后的可行域，再由數形結合可得的最大值是25．

極速突擊 換元化歸，等價轉化，數形結合．

金刊提醒

在線性規劃問題的求解中，要充分運用數形結合思想，在解題中能認真領悟圖解法的實質．

基本不等式與最值運用

（★★★）必做7 若直線ax+2by－2=0（a>0，b>0）始終平分圓x2+y2－4x－2y－8=0的周長，則+的最小值為（ ）

A． 1 B． 3+2

C． 5D． 4

精妙解法 由已知可得直線過圓心（2，1），從而a+b=1，且a>0，b>0，+=+（a+b）=3++≥3+2，當且僅當a=－1，b=2－時取等號． 故選B．

誤點警示 此題容易錯解如下：由已知可得直線過圓心（2，1），從而a+b=1，且a>0，b>0，+≥2=≥=4，故選D． 錯誤的原因是無法取到等號． 事實上+≥2成立，當且僅當b=2a時取到等號；≥成立，當且僅當b=a時取到等號，又a>0，b>0，這樣的a，b不存在．

極速突擊 用基本不等式求最值必須驗證等號能否取到，一般當等號無法取到時，用基本不等式求最值無效，此時應改用其他變形手段設法能使其取到等號，或者利用函數單調性求最值．

（★★★★）必做8 函數f（x）=+2的最小值為_______.

精妙解法 要使f（x）=+2有意義，需x2－2x≥0且x2－5x+4≥0，所以f（x）=+2的定義域是｛xx≤0或x≥4｝． 當x≤0時， f（x）=+2是單調遞減函數，在x=0處取最小值為4；當x≥4時， f（x）=+2是單調遞增函數，在x=4處取最小值為1+2，比較得最小值為1+2．

極速突擊 從定義域上突破，利用復合函數的單調性求最值．

金刊提醒

運用基本不等式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用、活用，還要注意“添拆項”技巧和公式等號成立的條件等；基本不等式應用中一定要注意三個細節，即“一正二定三相等”，記住兩個結論：“和定積最大”與“積定和最小”．

不等式恒成立與有解

（★★★）必做9 設函數f（x）=x3+x，x∈R，若當0≤θ≤時，f（msinθ）+f（1－m）>0恒成立，則m的取值范圍是_________．

精妙解法 函數f（x）=x3+x，x∈R，易知f（x）為奇函數，所以f（msinθ）+f（1－m）>0可化為f（msinθ）>－f（1－m）=f（m－1），且f（x）在R上是增函數，所以msinθ>m－1，m（1－sinθ）<1． 因為0≤θ≤，所以sinθ∈［0，1］，當sinθ=1時，m∈R；當sinθ≠1時，m<，min=1，所以m<1． 綜上所述，m的取值范圍是（－∞，1）．

誤點警示 f（msinθ）+f（1－m）>0可化為（msinθ）3+msinθ+（1－m）3+（1－m）>0，接下來不會因式分解化簡． 因此，我們應充分考慮函數的性質．

極速突擊 不等式恒成立問題，通常轉化為求函數的最值，求最值有時要按參數分類討論． 若采用分離變量法，再求最值，往往可避免分類討論． 一般地f（x）>a對一切x∈D都成立?圳f（x）min>a； f（x）

（★★★★）必做10 已知函數f（x）=lnx－x+－1，g（x）=x2－2bx+4.當a=時，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），則實數b的取值范圍是______．

精妙解法 因為f ′（x）=－－==－= －，又因為x∈（0，2），所以當x∈（0，1）時， f ′（x）<0，函數f（x）單調遞減；當x∈（1，2）時， f ′（x）>0，函數f（x）單調遞增，所以f（x）在（0，2）上的最小值為f（1）=－． 由于“對任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”等價于“g（x）在［1，2］上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值－”，即存在x∈［1，2］，使g（x）=x2－2bx+4≤－，即2bx≥x2+，即2b≥x+∈，，所以2b≥，解得b≥，即實數b的取值范圍是，+∞．

誤點警示 對條件“若對任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”不能正確轉化是解題的誤區，如把問題轉化為“f（x1）min≥g（x2）max”．

極速突擊 解決“全稱命題”“特稱命題”相關的試題時一般可以分成下面四步走：（1）實行變量分離，轉化成求最值問題；（2）判斷求最大值還是最小值：（3）求解f（x）的最值；（4）得出結論．

金刊提醒

不等式恒成立與有解問題最終都劃歸為函數的最值問題，基本思路是：用分離參數法將參數與變量分開，接著用基本不等式法、導數法等方法求變量所構造函數的最值．