2012年高考必做客觀題

集合的運算

（★★★★）必做1 若全集為實數(shù)集R，M=xlogx≥2，則CRM等于（ ）

A． （－∞，0］∪，+∞

B． ，+∞

C． （－∞，0］∪，+∞

D． ，+∞

精妙解法 法1：（驗證排除）集合M中沒有0這一元素，有這一元素，故CRM=（－∞，0］∪，+∞，選A．

法2：（直接求解）由logx≥2得logx≥log，即0

誤點警示 對于用描述法給出的集合｛xx∈P｝，要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)．

金刊提醒

集合的子、交、并、補等綜合運算，幾乎成了每年高考必考的低檔題，處理這類問題的一般步驟是：先正確理解各個集合的含義，認清集合元素的屬性，再依據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法對集合進行化簡求解，其一般規(guī)律為：（１）若給定的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；（２）若給定的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；（３）若給定的集合是抽象集合，用韋恩圖求解．

函數(shù)及其表示

（★★★★）必做2 已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=－f（x），且f（x）=1，－1

精妙解法 由f（x+1）=－f（x），得f（x+2）=－f（x+1）=f（x），所以f（3）=f（1）= －1．

金刊提醒

并不是所有的函數(shù)關(guān)系都可以用解析式來表示，要克服“函數(shù)就是解析式”的片面認識．函數(shù)還有另外兩種表示方法：列表法、圖象法，其中列表法、圖象法直觀，解析法是常用表示法；此外，函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的非常重要的部分，切勿忘記．

函數(shù)的解析式

（★★★☆）必做3 設(shè)f（x）是R上的函數(shù)，且滿足f（0）=1，并且對于任意的實數(shù)x，y都有f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1）成立，則f（x）=__________．

精妙解法 因為對于任意的實數(shù)x，y都有f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1）成立，令x=0可得，f（－y）=f（0）－y（－y+1）=y2－y+1，所以f（x）=x2+x+1．

極速突擊 求函數(shù)解析式的常用方法有：

（1）待定系數(shù)法——已知所求函數(shù)的類型；

（2）代換（配湊）法——已知形如f（g（x））的表達式，求f（x）的表達式；

（3）方程的思想——對已知等式進行賦值，從而得到關(guān)于f（x）及另外一個函數(shù)的方程組．

金刊提醒

本點要求在熟練掌握有關(guān)技能的同時，注意換元法、待定系數(shù)法等數(shù)學思想方法的運用．通過對分段函數(shù)、復合函數(shù)、抽象函數(shù)的認識，進一步體會函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)．分段函數(shù)是高考的熱點，它其實是一個函數(shù)，由于該函數(shù)在自變量取值的各個階段其對應(yīng)關(guān)系不一樣，故以分段形式給出，它的定義域、值域應(yīng)是各階段相應(yīng)集合的并集．

函數(shù)的值域與最值

（★★★）必做4 若不等式a＋≥2在x∈，2上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．

圖1

精妙解法 不等式即為a≥ －＋2在x∈，2上恒成立． 而函數(shù)f（x）＝－＋2＝x，

金刊提醒

確定函數(shù)f（x）的值域或最值必須首先探求函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)情況. 若f（x）是基本初等函數(shù)，則優(yōu)先考慮采用特殊方法，如不等式法、配方法、幾何法、換元法，也可直接利用它的圖象和性質(zhì)求解；若f（x）為其他函數(shù)，則可先利用單調(diào)性定義或?qū)?shù)法確定其性質(zhì)，再求值域．

函數(shù)的圖象及應(yīng)用

（★★★☆）必做5 已知函數(shù)f（x）=2x，x≤1，logx，x>1， 則函數(shù)y=f（1－x）的大致圖象是（ ）

精妙解法 法1：由已知得f（1－x）=，x≥0，log（1－x），x<0，選C．

法2：利用特殊值排除，選C．

（★★★★）必做6 設(shè)b>0，二次函數(shù)y=ax2+bx+a2－1的圖象為下列之一，則a的值為（ ）

A． 1 B． －1

C． D．

精妙解法 前兩個函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故b=0，與條件不符，后兩個函數(shù)圖象都過定點（0，0），故a2－1=0，即a=±1． 又對稱軸大于零，即x=－>0，由b>0得a<0，所以a=－1，選B．

金刊提醒

函數(shù)的圖象從直觀上很好地反映了函數(shù)的性質(zhì)，觀察函數(shù)的圖象時要抓住其關(guān)鍵特征，如對稱性、過定點、單調(diào)性、定義域和值域等，由此進行綜合判斷；在解方程和不等式等問題時，借助圖象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用圖象求交點個數(shù)或解的個數(shù)問題時，作圖要準確，否則易出錯．

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

（★★★★）必做7 已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，定義域為［a－1，2a］，則其值域為________．

精妙解法 因為f（x）是偶函數(shù)，所以a－1=－2a，則a=． 根據(jù)偶函數(shù)定義知b=0，所以f（x）=x2+1，x∈－，，所以其值域為1，．

誤點警示 本題易忽視偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的先決條件，從而導致問題解答不出確定值．

（★★★☆）必做8 已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x∈R，都有f（x）=f（2－x）成立，且當x∈（－∞，1）時，（x－1）f ′（x）<0（其中f ′（x）為f（x）的導數(shù)）． 設(shè)a=f（0），b=f，c=f（3）， 則a，b，c三者的大小關(guān)系是（ ）

A． a

C． a

精妙解法 由f（x）=f（2－x）可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以f（3）=f（－1）． 又當x∈（－∞，1）時，（x－1）f ′（x）<0，即f ′（x）>0，則f（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞增． 所以f（－1）

金刊提醒

判斷函數(shù)奇偶性先看定義域，再利用定義判定；用圖象判定也是常用的方法．

解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導解決；對于選擇題和填空題，也可用一些命題求解，如兩個增（減）函數(shù)的和函數(shù)仍為增（減）函數(shù)；而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般用單調(diào)性的定義解決．

函數(shù)性質(zhì)的綜合運用

（★★★★）必做9 已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當x1，x2∈［0，3］，且x1≠x2時，都有>0，給出下列命題：

① f（3）=0；

②直線x=－6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；

③函數(shù)y=f（x）在［－9，－6］上為增函數(shù)；

④函數(shù)y=f（x）在［－9，9］上有兩個零點．

其中正確命題的序號為_______（把所有正確命題的序號都填上）．

精妙解法 因為x1≠x2時，都有>0，所以f（x）在［0，3］上遞增． 因為f（x+6）=f（x）+f（3），令x=－3得f（3）=f（－3）+f（3），所以f（－3）=0． 因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（3）=0． ①正確．

所以f（x+6）=f（x）． 所以f（x）周期為6，畫出示意圖如圖2：

由圖象知②正確，③④不正確，填①②．

圖2

金刊提醒

深刻理解奇偶性、單調(diào)性、周期性的定義，掌握判定方法及函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，是解決此類問題的關(guān)鍵． 若所給函數(shù)為具體函數(shù)，則嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性；若為抽象函數(shù)，則在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學性與合理性．

二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

（★★★★）必做10 若函數(shù)f（x）= －x2+（2a－1）x有四個不同的單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

A． a>B．

C． a>D． a<

精妙解法 f（x）=－x2+（2a－1）x是由函數(shù)g（x）=－x2+（2a－1）x變化得到，先保留g（x）在y軸右側(cè)的圖象，再作關(guān)于y軸對稱的圖象． 由題意，g（x）=－x2+（2a－1）x的對稱軸在y軸的右側(cè)，所以>0，即a>． 選C．

金刊提醒

學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖象特征． 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理；從圖象特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合．

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

（★★★★）必做11 已知函數(shù)f（x）=－log（x2－ax+3a）（φ為銳角）在區(qū)間［2，+∞）上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．

精妙解法 令u=x2－ax+3a，因為00在［2，+∞）上恒成立，且為增函數(shù)，所以≤2，u（2）=4－2a+3a>0，解得－4

極速突擊 對于復合函數(shù)的單調(diào)性，我們一定要遵循“同增異減”的原則．

金刊提醒

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，運算可相互轉(zhuǎn)化，性質(zhì)可相互理解，方法可相互借鑒． 復習時要（1）學會指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化；（2）結(jié)合與指對數(shù)“互反”性質(zhì)有關(guān)的概念、圖象和性質(zhì)；（3）底是參數(shù)時，一定要區(qū)分底是大于1還是小于1的，與對數(shù)有關(guān)的問題還要緊扣對數(shù)函數(shù)的定義域．

函數(shù)的零點與方程的根

（★★★★）必做12 若定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當0

精妙解法 由條件f（x+2）=f（－x）= －f（x）， 因此f（x+4）=－f（x+2）=f（x），f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，知f（0）=0，方程f（x）=－+f（0）化為f（x）=－．結(jié)合圖象可知，f（x）=－在（0，1），（1，2）內(nèi)各有一個實根，且這兩根之和為2；f（x）= －在（4，5），（5，6）內(nèi)各有一個實根，且這兩根之和為10；f（x）=－在（8，9），（9，10）內(nèi)各有一個實根，且這兩根之和為18． 所以方程f（x）=－+f（0）在區(qū)間（0，10）內(nèi)有6個不同的實根，這6個實根之和為30．

金刊提醒

求解有關(guān)函數(shù)零點（方程的根）的問題時，我們應(yīng)充分利用函數(shù)與方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式．

導數(shù)的運算及幾何意義

（★★★★）必做13 若函數(shù)f（x）=（x－2）（x2+c）在x=2處有極值，則函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為________．

精妙解法 f（x）=x3－2x2+cx－2c，所以f ′（x）=3x2－4x+c，又f ′（2）=0得c=－4，所以f ′（x）=3x2－4x－4，所以f ′（1）=－5.

金刊提醒

導數(shù)f ′（x0）的幾何意義是曲線數(shù)y=f（x）在某點x0處切線的斜率，因此切線方程可通過求導數(shù)先得斜率，再由切點利用點斜式方程求得． 求過點P（x0，y0）的切線方程時，一要注意P（x0，y0）是否在曲線上；二要注意該點可能是切點，也可能不是切點，因而所求的切線方程可能不只1條．

導數(shù)的運用

（★★★★）必做14 f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1時有極值為10，那么a+b=________．

精妙解法 由f（1）=10，f ′（1）=0得1+a+b+a2=10，3+2a+b=0，即a=4，b=－11或a=－3，b=3，所以a+b=－7或a+b=0． 當a=4，b=－11時， f ′（x）=3x2+8x－11=（3x+11）（x－1），當x∈－，1時， f ′（x）<0；當x∈（1，+∞）時， f ′（x）>0，故當x=1時， f（x）有極小值． 當a=－3，b=3時， f ′（x）=3（x－1）2≥0，即此時x=1非極值點，所以a=－3，b=3不合題意，舍去． 綜上得a+b=－7．

誤點警示 （1）x0是極值點的充要條件是x0點兩側(cè)導數(shù)值異號，而不僅是f ′（x0）=0． f ′（x0）=0是x0為極值點的必要而非充分條件． （2）給出函數(shù)極大（小）值的條件，既要考慮f ′（x0）=0，又要檢驗其是否滿足“左正右負”（“左負右正”）的條件．

（★★★★）必做15 已知函數(shù)f（x）=ex－－ax－1，當x≥時，若關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，則實數(shù)a的最大值為________．

精妙解法 由f（x）≥0，得ax≤ex－x2－1，因為x≥，所以a≤． 令g（x）=，則g′（x）=，再令φ（x）=ex（x－1）－x2+1，則φ′（x）=x（ex－1），因為x≥，所以φ′（x）>0，即φ（x）在，+∞上單調(diào)遞增． 所以φ（x）≥φ=－>0，因此φ（x）>0g′（x）>0x∈，+∞，故g（x）在，+∞上單調(diào)遞增． 則g（x）≥［g（x）］min=g==2－，所以amax=2－．

金刊提醒

導數(shù)的應(yīng)用問題，首先要確定函數(shù)的定義域，再求導數(shù)f′（x），得到導函數(shù)的零點后，一般列表判定單調(diào)區(qū)間與極值或最值；若是含參變量的單調(diào)性或極值問題，則應(yīng)結(jié)合定義域?qū)Ψ匠谈膯栴}進行討論；對于某些綜合問題，還要進行命題轉(zhuǎn)化（如恒成立、大小比較、數(shù)列問題等），逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運用．