數學學習需要追求思維的真實

丁裕

人教版四年級下冊“三角形”這一單元中的“三角形的三邊關系”是新課程新增加的一個內容。在這些年的教學中，經常聽到老師們反映，看似簡單的三邊關系其實并不容易教。學生雖然最后能得出三角形“任意兩邊之和大于第三邊”的結論，通過教學也能認識到“兩邊之和小于第三邊”是圍不成三角形的，但是對于“兩邊之和等于第三邊”也是圍不成三角形的，卻不容易理解。關于這一點的教學，已然成了新課程教學的一大疑難。

因此，平時有很多老師在研究這節課，包括很多著名特級教師也對這節課進行過公開授課。不過回顧這些課的教學，雖然各自不盡相同，甚至有的富有特色、十分精巧，但是關于“兩邊之和等于第三邊”是圍不成三角形的這一結論的教學過程或方法，往往離不開先提供材料讓學生動手操作、然后觀察討論、得出結論這樣的一種模式，就這一點的教學效果也不見得很理想。筆者在2009學年就曾經親身實踐過。

教學片段一：

（組織學生用一些小棒圍三角形，有的圍成了，有的沒有圍成，并且在老師引導下先將明顯圍不成三角形的情況即“兩邊之和小于第三邊”進行反饋、展示完畢并形成結論。）

師：那么3厘米、5厘米和2厘米這三根小棒能不能圍成三角形呢？

（部分學生喊能圍成的，也有部分學生喊圍不成的。然后教師指名回答。）

生1：不能圍成。因為2厘米加上3厘米等于5厘米了。

生2：能圍成。老師你來看，我們已經圍成了。

師：你們到投影儀上來展示給大家看看。

（該組學生派了個代表上來圍，結果好像圍了一個看上去扁扁的三角形。此時很多學生不由跟著說：“是能圍成的啊。”也有個別低聲地說：“應該是不能圍成的。”）

師：你們這樣圍其實小棒的端點是沒有相連的，只是因為小棒比較粗，看上去好像是圍成三角形了。我們一起來看課件演示。

（在那些認為能圍成三角形的同學似懂非懂、還皺著眉頭的時候，教師開始進行課件演示：將5厘米置于底部，兩端接上2厘米和3厘米小棒各自的一端，然后將2厘米和3厘米這兩條線段慢慢往下壓，直至它們的端點相連接并且此時三條線段重疊。）

師：你們看，當這三條線段端點全接上時，就重合了。所以當兩條邊之和等于第三邊時是圍不成三角形的。

師：那么你們看3厘米、5厘米和8厘米能不能圍成三角形呢？

生（部分）：也是圍不成的。

（但此時，剛才認為能圍成三角形的同學還有些不服氣，嘀咕道：“可是我們是真圍成了呀，這明明就是三角形啊！”）

師：好了，有問題我們課后還可以接著討論。下面我們來看看3厘、米5厘米和4厘米這三根小棒能不能圍成三角形……

相信上過或者聽過這節課的老師對上面這樣的課堂場景一定不會感到陌生。我們能夠清晰地感受到，在教師這樣的教學組織與引導下，那些親手將“兩根小棒長度之和等于第三根小棒”的一組小棒圍成了“三角形”的學生，直到老師課件演示完畢甚至整節課結束后，他們還認為自己的觀點是對的，對老師的講解還是充滿疑問。

其實，我們應該能理解那部分堅持己見的學生。首先根據人的認知特點，各種感官里觸覺和視覺是最為靈敏和強烈的，特別是眼睛看到的事物令人印象深刻。盡管我們知道“兩邊之和等于第三邊”的三根小棒圍成了一個“三角形”是一種“視覺的假象”，但這卻是學生通過親手操作，然后親眼看見三根小棒好像是圍成三角形了。真所謂“眼見為實”“事實勝于雄辯”，他們此時是無論如何也不會再動用思維來推理、思考其中的邏輯關系了。其次，課堂上老師所說的小棒是有粗細的，和線段相比并不完全一樣，存在著一些誤差，這種理解對孩子來說其實非常困難。因為數學與生活之間存在著很大的距離，學生理解的數學上的線段，其實都是依附于生活中的實際物體上的，他并不認為小棒和線段有什么區別。因此，這種抽象與具體的關系此時讓學生去理解、去接受也是很不現實的。

那么，我們老師到底該怎么辦呢？難道就讓學生處于這種“視覺的假象”之中嗎？難道就沒有可以有效突破這一難點的辦法或者手段了嗎？答案顯然是否定的。前不久的一堂教研課上，筆者就聽到了一個與前面案例很不一樣的、別出心裁的處理辦法，效果也明顯與前一個案例不一樣。

教學片段二：

（教師先引導學生得出所有三角形“任意兩邊之和大于第三邊”這樣的猜想，然后組織學生在大量三角形中進行驗證。接下來安排一組練習，判斷下面哪一組線段是可以圍成三角形的：①3厘米、5厘米和7厘米；②3厘米、5厘米和10厘米；③3厘米、5厘米和8厘米。第一組讓學生說理后想象、打手勢比劃圍成的三角形，第二組也讓學生說理并動手圍一圍來驗證。）

師：第三組線段能不能圍成三角形呢？

（有了前面的學習和已知結論，絕大部分學生都說圍不成。）

師：為什么呢？你是怎么想的？

生1:因為3厘米加5厘米等于8厘米了，三角形中任意兩邊之和是要大于第三邊的。

師：同學們想象一下，這樣的三條邊圍起來會成什么樣呢？

（此時部分學生在皺眉想象，部分學生舉著手躍躍欲試。然后教師指名回答）

生2：會重合的，合在一起了。

師：真是這樣嗎？跟著課件我們一起來想象一下吧。

（教師開始進行課件演示：將5厘米置于底部，兩端接上2厘米和3厘米各自其中的一端，然后將2厘米和3厘米這兩條線段慢慢往中間下壓，并邊壓邊說：“我們讓這兩個端點接上，你們看慢慢接近了、接近了……”一直壓到馬上要重合了才停下來。）

師：如果我們再往下壓，當兩個端點接上時，你們覺得這三條邊會怎樣了？

生（齊聲）：重合在一起了！

師：是的，所以當兩邊之和等于第三邊時，也是圍不成三角形的，三角形的任意兩邊之和必定是大于第三邊的。

在這個教學片段中，教師干脆放棄了組織學生開展動手操作活動，取而代之的是讓學生進行想象與推理。仔細推敲這樣的教學設計，其實非常合理。許多數學知識確實需要組織學生動手操作來驗證，增強學生的體驗，從而使學生更好地學習、理解數學知識。不過，讓學生進行想象和推理又何嘗不是一種深刻的體驗活動呢？在關于“兩邊之和等于第三邊是圍不成三角形的”這一結論的教學上，為什么我們難以引導學生很好地理解？很重要的一個原因是我們組織學生進行動手操作，人為地使學生陷入了那種“視覺的假象”之中。像案例二中，如果我們一開始就讓學生利用原有的認知（學生已經驗證所有三角形的任意兩邊之和大于第三邊，而且動手驗證了兩邊之和小于第三邊是圍不成三角形的）來推理，思考3厘米、5厘米和8厘米的線段是圍不成三角形的，并通過課件演示幫助學生很好地想象了圍的最后結果，這樣就是引導學生去進行數學的思考，置學生于“思維的真實”之中，教學疑難自然也得到了很好的突破。

我們說數學是“思維的體操”，只有善于讓學生運用思維才是我們進行數學教學和學生學習數學的價值所在。新課程確實提出了“動手操作”是學生學習數學的一種有效方式，但是我們數學課上絕不能讓操作成為隨意開展的一種“慣習”。盲目地開展動手操作活動，很可能會像案例一那樣使學生陷入“視覺的假象”之中，喪失了數學本身應該具有的思維活動。讓學生在“真實的思維”中暢游，才是數學教學的“王道”所在！