基于excel的最優資產組合求解

【摘要】在投資證券市場的決策中，收益與風險的權衡是投資決策的核心問題。本文借助excel強大的線性規劃及函數功能建立證券投資模型，進行有效集的繪制及最優組合求解。包括風險資產與無風險資產的最優組合，以及收益或風險固定的有條件下的最優資產組合求解。并在最后對模型進行評價。

【關鍵詞】最優資產組合規劃求解模型有效集

一、引言

1952年馬克維茨（Markowits）提出“資產組合選擇”的理論，第一次闡述了概念明確，可操作性強的選擇投資組合的理論。1964年威廉·夏普（Sharpe）則在其基礎上提出了資本資產定價模型(CAPM)，指出無風險資產收益率與有效率風險資產組合收益率之間的連線代表了各種風險偏好的投資者組合。

而在實際操作中，利用excel的函數運算及規劃求解功能即可完成資產組合最優解的求解，并在不同的收益、風險限定條件下確定資產的最優投資決策。

二、最優資產組合求解

首先從市場上選取不同行業領域的股票共十只，截取這十只股票在2011年3月至2012年三月的日收盤價數據，利用excel平均值求值公式AVERAGE計算出其各自的日平均收益率。以上證綜指作為市場指標并計算出市場日平均收益率。利用VAR公式求得各個資產的方差及與上證綜指的協方差，由公式β=■求得各只資產的β系數。β系數是衡量資產對市場風險貢獻率的指標，其值越大說明該資產的風險水平越高。觀察各只β系數，選取β值水平不同的股票三只，記為股票1、2、3。如可選擇β<0.5的一只，0.5<β<1的一只，β>1的一只。

（一）求解可行區域

以0.05為單位跨度賦予三只股票權重ω1、ω2、ω3，由公式E(r)=■■■ω■r■求得在不同權重賦予下資產組合的收益率。利用公式σ■■=■■ω■ω■σ■求得不同權重組合的方差，具體步驟如下：

σ■■=(ω1ω2,…ωn)·σ■σ■…σ■σ■σ■…σ■……σ■σ■…σ■·ω■ω■…ω■

首先利用矩陣原理及excel的MMULT公式計算出前兩個矩陣的乘積矩陣，然后用公式SUMPRODUCT求得資產組合風險的方差，即各個資產的加權平均值。繼而求得標準差。利用作圖功能，即可畫出資產組合的可行區域，如圖1所示：

圖1 三只股票的投資可行區域

（二）與無風險資產的組合

當在資產組合中加入無風險資產時，向可行區域做切線來求得最優組合，即在以無風險利率為截距的切線上的點。如圖所示：線段AB為風險資產與無風險資產的比例分配，風險和收益呈線性關系，由投資者投資喜好來選擇。一般決策區域在線段AB間，如果投資者風險承受能力較強也可選擇直線上B點以上的點，此時的含義為借入無風險資產來進行股票的投資。

這條線即為資本市場線：rp=rf+■■σ■。直線以外的任意點都不能使風險收益得到最優配置。

圖2 與無風險資產組合的資本市場線

三、限制條件下的規劃求解

當投資者對風險或收益有特定需求時，可利用excel的規劃求解功能進行投資比例分配。

此時這三個約束條件為：

1.σ■■=■■■■■■ω■ω■σ■

2.■■■ω■=1

3.E(r)=■■■ω■ri

當收益水平E(r)為固定值時，最優解為風險水平σp的值最小時。

故其目標函數為：minσ■■=■■■■■■ωiωjσij。

利用excel的規劃求解功能進行資產組合規劃。首先設置約束條件的格式，如圖3所示，假設固定收益要求為0.005時，先賦ω1、ω2、ω3值為0。約束條件一的單元格設置公式：E2=B2+B3+B4，約束條件二為組合收益率，即F2=ω1r1+ω2r2+ω3r3。

利用公式MMULT(α,β)求得矩陣[x,y,z]，α為權重ω1、ω2、ω3的區域，β為各資產間的協方差矩陣。目標函數即為ω1+x+ω2y+ω3z，可利用公式SUMPRODUCT。最后利用平方根公式設置公式：H2=SQRT(G2)。

圖3 excel操作示意圖

接下來如圖4所示，設置單元格格式為目標函數單元格，接著選擇最小值，可變單元格即為需要規劃求解的各個資產權重的單元格。

圖4 規劃求解操作示意圖

約束1：設置E2區域的值等于1，即各項資產的權重總和為1。約束條件2：設置F2等于資產組合收益率，即E(r)。點擊“求解”即完成了有確定的期望收益時使得投資風險最小的規劃。

同理，在風險值固定時，最優解應使得資產組合的預期收益值最大，目標函數為：max E(r)=■■■ω■r■，求解過程同上。

四、評價

證券市場是瞬息萬變，在進行模型構建時常常采用采用歷史數據來代替預期收益率，因此也會存在一些偏差，故在進行投資決策中還需結合多方面因素進行考慮。但基于excel的最優資產組合求解模型具有很強的可操作性，對資產組合的優化決策具有一定的實際意義。

參考文獻

[1]郭愛平.多目標組合證券投資模型及其計算[J].陰山學刊，2010（9）.

[2]張中幀.大規模均值方差資產組合優化的逆矩陣法[J].科學技術與工程，2002（2）.

[3]瑪麗·杰克遜，邁克·斯湯頓.基于Excel和VBA高級金融建模[M].北京:中國人民大學出版社，2009.

作者簡介：殷海娜（1991-），漢族，河南濮陽人，就讀于北京交通大學經濟管理學院，研究方向：金融學。