建立數學模型,解決生活問題

李猛

摘要： 建立數學模型對解決實際生活中的問題有著重要的意義，本文通過幾個生活中的問題，進一步闡述了數學建模的重要性。

關鍵詞： 數學模型數學建模生活問題

當一個數學結構作為某種形式語言（即包括常用符號、函數符號、謂詞符號等符號集合）解釋時，我們就把這個數學結構稱為數學模型。也就是說，數學模型是通過抽象、簡化的過程，使用數學語言對實際現象的一個近似的刻畫，以便于人們更深刻地認識所研究的對象。

數學模型并非是新生事物，自從有了數學的那一天起，數學模型也就誕生了。在實際生活中，能夠直接使用數學方法解決的問題并不多見。然而，應用數學知識解決實際生活問題的第一步就是通過實際生活問題本身，從形式上雜亂無章的現象中抽象出恰當的數學關系，也就是構建這個實際問題的數學模型，其過程就是數學建模的過程。

中學生學習數學的目的在于如何使用所學的數學知識解決生產、生活中的實際問題。《新課程標準》也重點指出：通過有用的數學知識來解決實際生活中的應用題。因此，教師在中學數學課堂教學中，要培養中學生應用數學的意識，以及建立適當的數學模型分析、解決問題的能力。下面就我在中學數學課堂實踐中的做法，與大家一同探討。

一、利用二元一次方程組建模

例1：在2007年的暑假期間，小軍和他的爸爸媽媽一塊乘坐火車從A地到B地去旅游，在火車站的售票大廳看到了下表。媽媽對小軍說：“你能算出火車行駛的里程數和票價之間的關系嗎？”

請問：你能給出票價y與火車行駛里程x之間的關系式嗎？如果A地到某地的距離為75km，票價應該定價為多少元？

解析：設票價y與火車行駛里程x之間的函數關系為y=kx+b，當x=115時，y=25；當x=90時，y=20，所以有

115k+b=2590k+b=20

解得

k=0.2b=2

因此票價y與火車行駛里程x之間的函數關系式為y=0.2x+2。當x=75時，y=17。也就是說，A地到該地的票價應該定價為17元。

本題通過利用二元一次方程組建立數學模型，解決了在實際生活中遇到的問題，并將該問題進行了深化。

二、利用分式建模

例2：從A地到B地有兩條路，每條路都是3km，其中第一條路是平路，第二條路有1km的上坡路和2km的下坡路。小華在上坡路上的騎車速度為vkm/h，在平路上的騎車速度為2vkm/h，在下坡路上的騎車速度為3vkm/h，那么：

（1）當小華走第二條路時，他從A地到B地需要多長時間？

（2）從A地到B地他走哪條路花費的時間較少？少用多長時間？

解析：（1）走第二條路時，從A地到B地所需時間=走上坡路的時間+走下坡路的時間=+=。

（2）走第一條路時，從A地到B地所需時間為，-=，于是走第二條路花費的時間較少，少用h。

本題通過從實際生活問題中建立分式模型，既解決了生活問題，又培養了學生的建模能力。

三、利用不等式組建模

例3：2008年8月，北京奧運會帆船比賽在青島帆船中心舉行。觀看帆船比賽的船票分為兩種：Ａ種船票600元/張，B種船票120元/張。某旅行社要為一個旅行團代購部分船票，在購票費不超過5000元的情況下，購買A，B兩種船票共15張，要求Ａ種船票的數量不少于Ｂ種船票數量的一半。若設購買Ａ種船票ｘ張，請你解答以下問題。

（1）共有幾種符合題意的購票方案？

（2）根據計算判斷：哪種購票方案更省錢？

解析：（1）設購買B種船票y張，于是根據題意可得

x+y=15x≥y600x+120y≤5000

解得5≤x＜。因為x為整數，所以x可取5、6。

即有兩種購票方案：購買A種船票5張，B種船票10張；或購買A種船票6張，B種船票9張。

（2）5×600+10×120=4200，6×600+9×120=4680，所以購買A種船票6張，B種船票9張這種方案最省錢。

四、利用函數關系建模

例4：某市農村已經實行了農民新型合作醫療保險制度。享受醫保的農民可以在規定的醫院就醫并按規定標準報銷部分醫療費用。下表是醫療費用報銷的標準：

（說明：住院醫療費用的報銷分段計算。）

（1）設某農民一年中住院的實際醫療費用為x元（5000＜x≤20000），按標準報銷的金額為y元，試求出y與x的關系式。

（2）若某農民一年內本人自付住院醫療費17000元（自付醫療費=實際醫療費-按標準報銷的金額），則該農民當年實際醫療費用共多少元。

解析：（1）當5000＜x≤20000時，

y=5000×30%+（x-5000）×40%=0.4x-500

（2）由自付醫療費和報銷標準可以判斷，該農民當年實際醫療費應該在20000元以上。當x＞20000時，按標準報銷的金額

y=5000×30%+（20000-5000）×40%+（x-20000）×50%=0.5x-2500

根據題意還有

x-y=17000

聯解兩式可得，x=29000。也就是說該農民當年實際醫療費用共29000元。

以上是我在教學中讓學生完成的幾道生活中的問題，這些問題都可以通過建立數學模型進行解決。教師要不斷引導學生應用數學建模的思想去解決生活中的問題，讓學生養成應用數學知識去解決問題的方法和習慣，從而提高學生解決數學問題的能力。

參考文獻：

［1］韓中庚.數學建模方法及其應用［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］蔡鎖章.數學建模原理與方法［M］.北京：海洋出版社，2000.