一次例題教學中凸顯的一堂高效數學復習課

劉定定

課堂教學我注重了小組合作學習，數學問題都是先由學生小組討論，自主探究、思考，然后讓每一小組把討論的結果展示出來，由師生共同探究。我在高三復習不等式最值（值域）的解法時，在上課前精選了幾道我自己認為很有代表性的例題，目的是通過幾道例題將不等式值域（最值）常用解法歸納總結，如配方法、基本不等式法、函數單調性法、數形結合法、導數法和向量法等。但由于例題的局限性，要講清楚這些方法，通常情況下需要各種不同的例題，兩個課時完成，以說明這些方法的應用特征和技巧。但是在實際教學過程中，第一道例題在學生討論的過程中產生了意想不到的現象，各組提出了許多種做法，幾乎涵蓋了我預設的求不等式值域（最值）的各種方法。

例題 已知a>0,b>0,a+b=1,求a+1+b+1的最大值。

黑板上寫出題目，各個小組迅速討論，幾分鐘過后，很快就有學生舉手，我要求各組依次把他們的方法展示出來，有一個小組是這樣解的：

方法一 令M=a+1+b+1，等式兩邊平方，然后利用基本不等式得：M2=a+1+b+1+2a+1?b+1≤3+(a+1+b+1)=6，得最大值為6。

還有一個小組利用課本習題的結論，也是基本不等式：

方法二 教材（人教版）不等式一節的習題a2+b22≥a+b22的變形a+b≤2?a2+b2，(a>0,b>0)證明方法更加直接，a+1+b+1≤2(a+1+b+1)=6。我們分析了a，b的取值范圍和等號成立的條件，我補充說，課本上的這道題也是一個非常重要的不等式，我要求學生今后求最值時注意應用。

至此，我選這道題的目的已經達到，準備進入下一道題，然后各組學生像炸開鍋一樣在說著自己的做法，有一個組的同學的方法也是利用課本上一道習題的結論：

方法三 利用課本習題(ac+bd)≤(a2+b2)(c2+d2)證明1?a+1+1?b+1≤(12+12)?(a+1+b+1)≤6。我一看是用柯西不等式，我當即表揚了這兩個組的同學，表揚他們能活學活用，對教材上的知識掌握得好，基本功扎實，我們就是要會用我們已經學過的知識解決問題。

課上到這兒，我感覺舉手的學生很多，同學們都躍躍欲試，我索性改變了原來設計的教學過程，放手讓學生繼續探究這一道題，繼續展示他們的做法，其他組的學生陸續也提出了一些做法。

方法四 某一組的學生提出在方法一的形式下利用二次函數求最大值，M2=3+2(a+1)(2-a)=3+2-a2+a+2，顯然，當a=12時，二次函數f(a)=-a2+a+2,(0

方法五 令y=a+1+2-a，則y′=12a+1+-122-a，令y′=0，可得a=12的時候有最大值6。以上兩種方法是利用函數求最值的方法，至此我感受到，小組合作學習這種學習形式，讓學生之間能有機會討論，在討論中促使學生產生思維的火花，思考出更多好的做題方法。在學生的進一步探究下，又有一組學生給出了下面的兩種解法，更是妙趣橫生，令人嘆為觀止。

方法六 構造向量法。m=(a+1,b+1)，n=(1,1)，利用m?n≤|m||n|證明，即：a+1+b+1=m?n≤3?2=6，當且僅當向量m,n同向時等號成立。又是一個十分巧妙的處理，利用我們學過的知識解決問題是我們十分期待的。

方法七 設x=a+1，y=b+1,則a=x2-1,b=y2-1，代入a+b=1，有x2+y2=3，M=x+y，巧妙換元，以下可以用基本不等式證明，M2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=6，或者繼續用換元法，令x=3cosθ,y=3sinθ，代入a+1+b+1=x+y=6sinθ+π4≤6。討論至此，我和學生共同把上面所有方法加以歸納整理，我發現幾乎涵蓋了之前要通過幾道題目所要解決的求最值的方法。

通過這樣一道例題，學生在小組討論中師生共同探究得到了多種解法，整堂課學生自己去發現，去探究，去思考，教師只是在宏觀上作了組織和指導，教師幾乎沒有講解，避免了“滿堂灌”，充分調動了學生學習數學的積極性，提高了學生學習數學的興趣；通過本節課的學習，除了讓學生掌握了數學知識，還讓學生在不停的思考和發現中了解知識發生的過程，提高了學生思維能力，達到了我們期待的教學目標。

教學相長，互為補充，如何構建高效的課堂是我們教育工作者一直探討的問題。什么樣的課堂高效？我想只有學生成了課堂的主角，在教學過程中能引導學生主動參與學習，主動探究，自己感受知識發生的過程，從而讓學生掌握知識、提高能力，我想這樣的課堂才是高效的課堂。因此，教師備課時既要備教材又要備學生，對學生學習過程中可能出現的情況加以預設，教師要有心理準備。隨著新課程改革的不斷深入，教師和學生學習角色的轉變，學生有了更多的時間和機會思考問題，這樣一來，對我們教師的要求就更高了，要求教師有更高的應變能力和駕馭課堂的能力。雖然本節課只講了一道例題，盡管自己之前的教學設計沒有完成，但從教學效果看，比按照我預設的那些習題完成教學任務所達到的教學效果要好得多。本節課既充分調動了學生的學習積極性，又讓學生在小組合作學習的過程中，體會到了自己思考、探究、成功和發現的喜悅。這樣的復習課不僅讓學生掌握知識又提高學生的能力，這樣的教學效果是我們應該期望看到的。