建立對應點在圖像變換中的應用

鄭竹

摘 要:本文以建立函數圖像水平方向變換前后的對應點間的關系,來確定函數在水平方向變換后的函數表達式。用這種方法可十分有效地解水平方向變換的題目,要比一般書上介紹的方法簡單,容易掌握,在解題中不易出錯。

關鍵詞:函數對應點變換

中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2012)06(b)-0256-01

在高中數學中,圖像變換問題以圖像水平方向變換居多。解這一類問題,一般是根據圖像變換前后的函數表達式來解決,但學生在處理這一問題時,常常會對函數表達式的含義理解不到位而出錯。如把函數的圖像向右平移個單位,得到的函數是,絕不是。但多數學生則認為得出的函數是,這是對函數表達式的含義理解不清造成的。一般書上,在解這類問題時,多指出函數圖像的平移要注意用什么代替了什么,要注意圖像的平移規律:左加右減,上加下減。這時得到的圖像,需用代替中的,即得。但學生用這種方法解這類題時,還是容易出錯,其原因是學生對這種方法理解不透。圖像在水平方向上的變換的最大特點是縱坐標不變,如果抓住了這一規律,也就掌握了解決這一類題目的方法。

設函數在水平方向上平移后得到函數,令,使函數上一點經水平方向上變換后對應的點是。在水平方向平移變換中,根據點與間的位置關系,或點與間的橫坐標與間的關系就可確定函數是經過怎樣在水平方向上平移得到函數的。當時,函數向右平移個單位得到函數;當時,函數向左平移個單位得到函數。在實際使用中,可取一特殊點,即取。

函數上點的橫坐標擴大A倍(縱坐標不變)得到對應的點為,對應的函數是;函數上點的橫坐標縮小A倍(縱坐標不變)得到對應的點為,對應的函數是。

建立圖像在水平方向上變換的前后圖像上對應點的位置關系來解決變換問題,學生容易理解和掌握,操作簡單而易行,并且還不會出錯。

例1:(《高中數學培優——解題錯點診斷與方法引導》第22頁例4)要得到函數的圖像,只要將函數的圖像( )

A、向左平移個單位;B、向左平移個單位;

C、向右平移個單位;D、向右平移個單位。

解:令函數中的,得;再令函數中的,得。考察點與,知點在右邊個單位,即點的橫坐標在點的橫坐標的右邊個單位,可得出函數是由函數的圖像向右平移個單位得到。故選D。

例2:《高中數培優——解題錯點診斷與方法引導》第6頁例8)函數是偶函數,則函數的對稱軸是( )

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、

解:令中的,得,令中的,得,知橫坐標在橫坐標左邊1個單位。所以函數是函數的圖像沿水平方向向左平移1個單位而得到。偶函數的對稱軸是y軸,即,把y軸向左平移1個單位得。故選Ａ。

例3:(安徽高考)將函數的圖像按向量平移后所得的圖像關于點中心對稱,則向量的坐標可能為( )

A、B、C、D、

解:設,令函數中,得,函數的圖像按向量平移后可得對應點,即。由此得出得函數的圖像按向量平移后的函數是。令,,因的圖像關于點中心對稱,有,得,當時,。故應選C。

例4:將函數的圖像向右平移個單位,再把所得圖像上各點的橫坐標擴大到原來的2倍,所得解析式為( )

A、 B、

C、 D、

解:令函數中,得。把函數的圖像向右平移個單位,則對應的橫坐標為,即,得圖像平移后函數為,再把平移后所得的縱坐標擴大到原來的2倍所得函數為,故選C。

從上述的解題過程來看,用圖像水平方向變換前后的對應點的思路來解題,操作簡單,易于掌握。