淺析數學教學中的數學思想

周華安

笛卡兒說過：“數學是使人變聰明的一門科學”，而數學思想是傳導數學精神、形成科學世界觀不可缺少的條件。數學思想反映著數學概念、原理及規律的聯系和本質，是學生形成良好知識結構的紐帶，是培養學生能力的橋梁。數學新大綱首次提出數學思想方法，許多專家認為數學思想方法是人們在一生中應用最廣泛的數學知識。數學思想是數學學科中取之不盡、用之不竭的智慧源泉。因此，在數學教學中，教師除了基礎知識和基本技能的教學外，還應重視在平時數學教學過程中把握好數學思想，這對學生今后的數學學習和數學知識的應用將產生深遠的影響。

1．數形結合思想

數和式是問題的抽象和概括，圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。華羅庚先生說得好：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好。”這句話闡明了數形結合思想的重要意義。學生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。比如在講“圓與圓的位置關系”時，我讓學生自制圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關系，然后可激發學生積極主動探索兩圓的位置關系反映到數上有何特征。這種借助于形通過數的運算推理研究問題的數形結合思想，在教學中要不失時機地滲透。這樣不僅可提高學生的遷移思維能力，還可培養學生的數形轉換能力和多角度思考問題的習慣。

2．化歸思想

化歸思想是數學思想方法體系主梁之一。在實數的運算、解方程(組)、多邊形的內角和、幾何證明等的教學中都有讓學生對化歸思想方法的認識，學生有意無意接受到了化歸思想。如已知(x+y)2＝11，xy＝1求x²+y²的值，顯然直接代入無法求解，若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子(x+y)2－2xy，則易得：原式＝9；又如“多邊形的內角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決，這都是化歸思想在實際問題中的具體體現。化歸思想是解決數學問題的一種重要思想方法。化歸的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解。實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等。

3．方程思想

眾所周知，方程思想是初等代數思想方法的主體，應用十分廣泛，可謂數學大廈基石之一，在眾多的數學思想中顯得十分重要。所謂方程思想，主要是指建立方程(組)解決實際問題的思想方法。教材中大量出現這種思想方法。如列方程解應用題，求函數解析式，利用根的判別式、根與系數關系求字母系數的值等。教學時，可有意識的引導學生發現等量關系從而建立方程。如我講“利用待定系數法確定二次函數解析式”時，就啟發學生去發現確定解析式的關鍵是求出各項系數，可把他們看成三個“未知量”，告訴學生利用方程思想來解決，那學生就會自覺的去找三個等量關系建立方程組。在這里如果單講解題步驟，就會顯得呆板、僵硬，學生只知其然，不知其所以然。與此同時，還要注意滲透其他與方程思想有密切關系的數學思想，諸如換元，消元、降次、函數、化歸、整體、分類等思想，這樣可起到“撥亮一盞燈，照亮一大片”的作用。

4．整體思想

整體思想在初中教材中體現突出，如在實數運算中，常把數字與前面的“+，－”符號看成一個整體進行處理；又如用字母表示數就充分體現了整體思想，即一個字母不僅代表一個數，而且能代表一系列的數或由許多字母構成的式子等；再如整式運算中往往可以把某一個式子看作一個整體來處理，如：(a+b+c)2＝[(a+b)+c] 2視(a+b)為一個整體展開等等，這些對培養學生良好的思維品質，提高解題效率是一個極好的機會。

5．分類討論思想

分類討論即根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數學發現的重要手段。在教學中，如果對學過的知識恰當地進行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。例如，對三角形全等判別方法的探索，教材中的思考題：如果兩個三角形有三個部分(邊或角)分別對應相等，那么有哪幾種可能的情況？同時，教材中對處理幾種識別方法時也采用分類討論，由簡到繁，一步步得出，教學時要讓學生體驗這種思想方法。

6．變換思想

變換思想是由一種形式轉變為另一種形式的思想。解方程中的同解變換，定律、公式中的命題等價變換，幾何圖形中的等積變換等等都包含了變換思想。具有優秀思維品質的一個重要特征，就是善于變換，從正反、互逆等進行變換考慮問題，但很多學生又恰恰常忽略從這方面考慮問題，因此變換思想是學生學好數學的一個重要武器。例：四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上的兩點，且AE＝CF。求證：DE＝BF。這道題若是由已知向后推理較難把握方向，但用變換方法尋找證法比較容易：要證DE＝BF，只要證△ADE≌△CBF(證△ABF≌△CDE也可)；要證△ADE≌△CBF，因題目已知BC＝DA，AE＝CF，只要證∠DAE＝∠BCF；要證∠DAE＝∠BCF，可由△ABC≌△CDA得到，而由已知條件AB＝CD，BC＝DA，AE＝CF不難得到△ABC≌△CDA。這樣問題就解決了。

7．辯證思想

辯證思想是科學世界觀在數學中的體現，是最重要的數學思想之一。自然界中的一切現象和過程都存在著對立統一規律，數學中的有理數和無理數、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變量、整體和局部等同樣蘊涵著這一辯證思想。因此，教學時，應有意識地滲透。如初二《分式方程》一節，就體現了分式方程與整式方程的對立統一思想，我在教學時，不只簡單介紹分式方程的概念和解法，而是滲透上述思想，從復習整式和分式的概念出發，然后依據辯證思想自然引出分式方程，接著帶領學生領會兩個概念的對立性(非此即彼)和統一性(統稱有理方程)，再利用未知與已知的轉化思想啟發學生說出分式方程的解題基本思想，從而發現兩種方程在解法上雖有不同，但卻存在內在的必然聯系。這樣，學生在知曉整式方程與分式方程概念和解法的辯證關系后，就能進一步理解和掌握分式方程，收到深入淺出的教學效果。因此，抓辯證思想教學，不僅可以培養學生的科學意識，而且可提高學生的探索能力和觀察能力。

數學思想方法是在啟發學生思維過程中逐步積累和形成的。為此，在數學教學中，首先要特別強調解決問題以后的“反思”。其次要注意滲透的長期性。只要切切實實把握好上述幾個典型的數學思想，依據課本內容和學生的認知水平，有計劃地滲透，就一定能提高學生的學習效率和數學能力。

（責任編輯全玲）