鐘表中的數(shù)學(xué)問題

王洪成

“數(shù)學(xué)來源于生活，又運(yùn)用于生活”，當(dāng)師生們有節(jié)奏地度過校園生活的每一天時，是否留意過鐘表里的有關(guān)數(shù)學(xué)問題？時間周而復(fù)始，時針與分針一圈又一圈不停地旋轉(zhuǎn)，那么它圖 1們什么時候重合、成一直線呢？下面就探討一下這一問題：

圖 2鐘表表盤上共有12個大格，60個小格（如圖1）.分針走1小格

為1分鐘，時針走1大格為1小時（即60分鐘）.由于時針、分針走1周

均為360度，故1小格為6度，1大格為30度，由此得出分針每分鐘走6度，時針每分鐘走30°÷60=1[]2°.

一、時針、分針幾點(diǎn)幾分重合

因?yàn)?點(diǎn)時，分針與時針重合，都指向12（如圖2），以后分針、

時針再重合，可以把它看成是同時、同地、同方向出發(fā)，不同速度的追擊問題，即二者下次再重合，分針走過的路程則比時針多1周（即360度）.由此可設(shè)x分鐘后，時針、分針第一次重合，據(jù)題意列方程為：6x-1[]2x=360×1，解得：x=720[]11=655[]11，由于x>60分，即第一次重合時為1點(diǎn)55[]11分鐘.時針、分針第二次重合，據(jù)題意列方程為：6x-1[]2x=360×2，解得：x=1440[]11=13010[]11，由于x>120分，即第二次重合時為2點(diǎn)1010[]11分鐘

……時針、分針第十一次重合，據(jù)題意列方程為：6x-1[]2x=360×11，解得：x=720，由于x=720分=12小時，即第十一次重合時為12點(diǎn)整.

由以上得出：

（1）從1點(diǎn)到12點(diǎn)分針與時針共重合了11次.

（2）幾點(diǎn)幾分分針與時針重合，可由方程6x-1[]2x=360×n（0≤n<12的整數(shù)）解出.

二、時針、分針幾點(diǎn)幾分成一直線

這里分為兩種情況：一是時針、分針重合時成一直線（上面已研究）；二是時針、分針夾角為180度時成一直線.

下面來研究第二種情況，對此問題仍從0點(diǎn)開始研究，時針、分針夾角為180度，即分針比時針多走了180度，由此得方程6x-1[]2x=180，解得：x=180[]11=328[]11，即0點(diǎn)328[]11分時第一次成一直線.第二次再成一直線時，分針比時針又多走了360度（即1小時），列方程為6x-1[]2x=180+360×1，解得：x=60+382[]11，即1點(diǎn)382[]11分時成一直線……第十一次成一直線，列方程為6x-1[]2x=180+360×（11-1），解得：x=660+273[]11，即11點(diǎn)273[]11分時成一直線，第十一次與第一次一樣.由以上可得出時針與分針幾點(diǎn)幾分成一直線時可用6x-1[]2x=360n或180+360n（0≤n<12的整數(shù)）.

三、時針、分針幾點(diǎn)幾分時夾角為α（0°<α<180°）

這里仍可分為兩種情況：

1.當(dāng)時針與0點(diǎn)之間的最小夾角大于或等于α?xí)r，可用方程6x-1[]2x+30n=±α來解（n為幾點(diǎn)）.

例1 3點(diǎn)幾分時，時針與分針夾角為90度？

分析 由于3點(diǎn)與0點(diǎn)之間的最小夾角為90度，故可運(yùn)用上面方程來解.

解 設(shè)3點(diǎn)x分時，時針與分針夾角為90度，列方程6x-1[]2x+30×3=±90，解得：x1=0，x2=328[]11.即當(dāng)3點(diǎn)整和3點(diǎn)328[]11分時，時針與分針夾角為90度.

例2 6點(diǎn)幾分時，時針與分針夾角為160度？

分析 6點(diǎn)與0點(diǎn)之間的夾角為180度，所以仍可運(yùn)用上面方程來解.

解 設(shè)6點(diǎn)x分時，時針與分針夾角為160度，列方程6x-1[]2x+30×6=±160，解得：x1=37[]11，x2=60+28[]11，∵x2>60分，已不存在是6點(diǎn)，故舍去，

只取x1，即當(dāng)6點(diǎn)37[]11分時，時針與分針夾角為160度.

2.當(dāng)時針與0點(diǎn)之間的夾角小于α?xí)r，分為兩種情況（如例3、例4）.

圖 3

例3 1點(diǎn)幾分時，時針與分針夾角為60度？（如圖3）

解 設(shè)x分鐘時，夾角為60度，當(dāng)∠AOB=60°時，

6x-1[]2x+30×1=60，解得：x1=164[]11；

當(dāng)∠AOC=60°時，∠AOC=∠AOD+∠COD.∵∠AOD=1[]2x+30×1，∠COD=360-6x，

∴1[]2x+30+360-6x=60，解得：x2=60，由于60分鐘后為2點(diǎn)整，故應(yīng)舍去，所以當(dāng)1點(diǎn)164[]11分時，時針與分針夾角為60度.

針對鐘表中時針與分針重合及成一直線這類數(shù)學(xué)問題，看似復(fù)雜，其實(shí)也很簡單，只要畫出圖形，分清情況，認(rèn)真分析，問題就會迎刃而解.