從函數(shù)的角度來研究數(shù)列的一點思考

劉書霞

【摘要】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列問題時我們可以利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)輔助于我們來解決數(shù)列的一些比較麻煩的問題，來開闊學(xué)生的思路.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；數(shù)列；數(shù)列通項公式；函數(shù)圖像

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義域為正整數(shù)集或其子集的一類函數(shù)，所以我們研究數(shù)列時可以從式上利用函數(shù)的思想對數(shù)列加以研究，這樣更利于我們的教學(xué)，更利于學(xué)生去理解和掌握.近幾年的高考中對數(shù)列的最值問題考查得比較多，而這一問題也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，那么我們教師如何幫助學(xué)生突破這些難點呢？

下面我們通過幾個例子幫助學(xué)生從函數(shù)角度理解數(shù)列問題.

例1 已知數(shù)列{a璶}滿足a璶=n-2011[]n-2012，（n∈N*），求數(shù)列{a璶}中最大項.

分析 拿到題目很多學(xué)生會覺得很茫然，題目中含有n-2011[]n-2012這樣復(fù)雜的分式，無從下手.這時我們試著引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度去研究該題，會使整個思路打開.

解析 a璶=n-2011[]n-2012=1+2012-2011[]n-2012.

此時我們可以研究函數(shù)f（x）=x-2011[]x-2012，（x>0）的最值問題.

而函數(shù)f（x）=x-2011[]x-2012是以（2012，1）為中心的反比例函數(shù)，我們可以通過它的圖像從形的角度去解決該題.通過圖像我很自然地發(fā)現(xiàn)當(dāng)x從大于2012的方向逼近直線x=2012時，f（x）值趨向正無窮大，而a璶=n-2011[]n-2012所對應(yīng)的圖像是函數(shù)f（x）=x-2011[]x-2012圖像中橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一些離散的點.n=45時，a璶取得最大值a45=45-2011[]45-2012.

總結(jié) 從這一題我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)碰到類似的問題時，我們只要抓住{a璶}的通項是關(guān)于n的函數(shù)的特點，可以其圖像輔助解決.

題目 設(shè)n∈N*，n≥2，求無窮數(shù)列2，3[]3，4[]4，…，n[]n，…的最大項.（源自《數(shù)學(xué)與測試》蘇州大學(xué)出版社）

例2 等差數(shù)列{a璶}滿足a璸=q，a璹=p求a璸+q.

分析 很多同學(xué)拿到這個題目心中立馬就有方法了.我找了兩名比較有代表性的同學(xué)解答.

甲同學(xué)：因為a璸=q，a璹=p，得到a1+（p-1）d=q，

a1+（q-1）d=p，

解得a1=p+q-1，

d=-1.

故得a璸+q=a1+（p+q-1）d=0.

乙同學(xué)：a1=a璸-a璹[]p-q=-1，所以a璸+q=a璸+qd=0.

這兩名同學(xué)就是通過求等差數(shù)列的基本量a1，d的方法來解決該題目的.但是如果我們深層次地挖掘一下，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，前n項和公式是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù).這時我們知道一次函數(shù)的圖像是一條直線，那么等差數(shù)列的通項是分布在這一次函數(shù)圖像上的一些離散的點.

解析 因為{a璶}是等差數(shù)列，那么（n，a璶）（n∈N*）是共線點，即（p，q），（q，p），（p+q，a璸+q）三點是共線的，

然后就可以利用斜率相等來求.

q-p[]p-q=a璸+q-p[]p+q-q，解得a璸+q=0.

題目 等差數(shù)列{a璶}滿足s璵=n，s璶=m，求s璵+n=？

分析 因為前n項和公式s璶是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)，所以s璶=An2+Bn，即有s璶[]n=An+B，此時我們把這列問題又化歸到了剛才的那個問題了，利用n，m[]n，m，n[]m，m+n，s璵+n[]m+n三點共線來解決了.

總結(jié) 這研究等差數(shù)列問題的兩小題，我們是從{a璶}的通項a璶和前n項和s璶都是關(guān)于n的函數(shù)，從函數(shù)的圖像出發(fā)，利用點共線來解決的.

函數(shù)和數(shù)列之間的聯(lián)系緊密，我們在教學(xué)數(shù)列這一塊時，不妨不斷地引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想去解決數(shù)列問題，讓學(xué)生去總結(jié)類似的思想方法，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不再那么痛苦，學(xué)得輕松愉快.