一般三次方程的簡明新求根公式和根的判別法則

謝國芳

【摘要】本文推導出了遠比卡丹公式簡明快捷的可直接用來求解一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0的新求根公式，進而又針對實系數的情形討論了根的情況，得到了方便的根的判別法則.

【關鍵詞】三次方程；求根公式；判別法；判別式

一、一般三次方程的簡化

對于一般形式的三次方程ax3+bx2+cx+d=0 （a≠0）， 兩邊同除以a，即可化為首項系數為1的三次方程

x3+bax2+cax+da=0.

作變量代換

x=y-b3a.（1）

可消去二次項，得

y3+py+q=0.（2）

其中p=-b2-3ac3a2，q=-9abc-2b3-27a2d27a3.（3）

下面我們把形如式（2）的三次方程稱為簡約三次方程，并約定其一次項系數p≠0.

二、簡約三次方程的三角函數解法和求根公式

在方程（2）中作變量代換琜1琞

y=2-p3cosz.（4）

利用三倍角公式 cos3z=4cos3z-3cosz， 方程（2）變為

cos3z=-q/2（-p/3）3.（5）

定義參數χ=-q/2（-p/3）3.（6）

稱之為三次方程y3+py+q=0的關鍵比（key ratio），式（5）即

cos3z=χ.（7）

利用歐拉公式 cosz=e琲z+e-iz2.（8）

可將方程（7）化為一個以e3iz為元的二次方程 （e3iz）2-2χ（e3iz）+1=0， 解得e3iz=χ±χ2-1.

定義參數 W=χ+χ2-1， 由上式可得 e琲z = 3W 或 13W， 再由式（8），（4）即得方程y3+py+q=0的根為

y=-p33W+13W.（9）

其中 W=χ+χ2-1， χ=-q/2（-p/3）3. （10）

復立方根3W的三個值正好對應于方程的三個根.

三、簡約三次方程的另一個求根公式

定義參數 λ = -q/2（p/3）3， 亦稱之為三次方程y3+py+q=0的關鍵比，對比χ的定義式（6），若規定平方根的取值滿足（參見注1和附錄1）-p/3=ip/3， 則χ=iλ， 于是

W=χ+χ2-1=iλ+（iλ）2-1=iλ+-（λ2+1）=i（λ+λ2+1）.

定義參數Z=λ+λ2+1， 則W=iZ， 故 3W=eπi/6·3Z（參見附錄1）， 代入式（9）可得

y=p3e2πi/3·3Z -1 e2πi/3·3Z.

因為e2πi/3乘以立方根3Z的三個值后仍得到3Z的三個值，所以上式即

y=p33Z-13Z.（12）

其中

Z=λ+λ2+1， λ=-q/2（p/3）3.（13）

四、一般三次方程的兩個求根公式

為了把求根公式（9）和（12）推廣到一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0，只需把相應的簡約三次方程y3+py+q=0的關鍵比χ和λ直接用系數a，b，c，d表出即可. 將由式（3）給出的p，q值代入χ和λ的定義式可得琜2琞

χ = -q/2（-p/3）3 = 9abc-2b3-27a2d27a32b2-3ac9a23=9abc-2b3-27a2d2（b2-3ac）3，

λ = -q/2（p/3）3= 9abc-2b3-27a2d2（-（b2-3ac））3.

定義D=b2-3ac， 則

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3，λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3.

我們可以把它們稱為三次方程ax3+bx2+cx+d=0的關鍵比. 根據求根公式（9）和（12），并注意到p=-D3a2和x=y-b3a（參見式（1），（3）），我們就得到了下面的結果.

定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）對于三次方程ax3+bx2+cx+d=0， 定義參數

D=b2-3ac， χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3，

W=χ+χ2-1.（14）

則當D≠0時它的根為琜3琞

x=-b+D（3W+13W）3a.（15）

設W=|W|e琲β，|W|為復數W的模，β=argW為其幅角主值（-π<β≤π），則3W的三個值為

3|W|e琲β/3， 3|W|e琲（β+2π）/3， 3|W|e琲（β-2π）/3.

代入式（15），并定義實參數ρ=3|W|， 可得方程的三個根：

x1=-b+Dρ+1ρcosβ3+iρ-1ρsinβ33a，x2=-b+Dρ+1ρcosβ3+2π3+iρ-1ρsinβ3+2π33a，x3=-b+Dρ+1ρcosβ3-2π3+iρ-1ρsinβ3-2π33a.（16）

其中ρ=3|W|， β=argW， W=χ+χ2-1.

定理2（一般三次方程的求根公式Ⅱ）對于三次方程ax3+bx2+cx+d=0， 定義參數

D=b2-3ac， λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3，Z=λ+λ2+1.（17）

則當D≠0時它的根為x=-b+-D3Z-13Z3a.（18）

設Z=Ze琲α，Z為復數Z的模，α=argZ為其幅角主值（-π<α≤π），則3Z的三個值為

3|Z|e琲α/3， 3|Z|e琲（α+2π）/3， 3|Z|e琲（α-2π）/3.

代入式（18），并定義實參數σ=3|Z|，可得方程的三個根：

x1=-b+-Dσ-1σcosα3+iσ+1σsinα33a，x2=-b+-Dσ-1σcosα3+2π3+iσ+1σsinα3+2π33a，x3=-b+-Dσ-1σcosα3-2π3+iσ+1σsinα3-2π33a.（19）

其中σ=3|Z|， α=argZ， Z=λ+λ2+1.

注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是等價的，在實際應用中，我們可以使用這兩個求根公式中的任意一個求解（可視方便而定），除了根的編號可能不同之外，得到的結果是完全相同的.

例1 解復系數三次方程 x3+ix2+x-i=0.

解（用求根公式Ⅰ）D=b2-3ac=（i）2-3×1×1=-4，

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3=9i-2i3-27×（-i）2（-4）3=-198，

W=χ+χ2-1=-198+-1982-1=-19-3338，

β=argW=π， ρ=3|W|=319-3338≈0.604401892838194，

代入式（16），即得方程的三個根：

x1=-i+-4ρ+1ρcosπ3+iρ-1ρsinπ33 ≈0.606290729207199+0.419643377607081i，

x2≈-1.839286755214161i，x3≈-0.606290729207199+0.419643377607081i.

也可以用求根公式Ⅱ求解本題，所得結果的差別只是后兩個根的編號不同.

五、一般實系數三次方程的求解和根的判別法則（D-χ判別法）

對于實系數三次方程ax3+bx2+cx+d=0，我們可以根據參數D=b2-3ac的值，選擇使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中較方便的一個求解，進而判定根的情況.

1.D<0的情形

當D=b2-3ac<0時，顯然用求根公式Ⅱ求解比較方便，因為這時關鍵比λ為實數（參見式（17）），Z=λ+λ2+1亦為實數，設其實立方根為K，則3Z的三個值為K， e2πi/3K， e-2πi/3K，代入式（18）即得方程的三個根：

x1=-b+-DK-1K3a，x2，3=-b+-DK-1Kcos2π33a±i-DK+1Ksin2π33a.（20）

其中K=3λ+λ2+1， λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3，（λ∈R， K∈R）.

顯然x1為實根，x2， x3為共軛虛根.

2.D>0的情形

當D=b2-3ac>0時，顯然用求根公式Ⅰ求解比較方便，因為這時關鍵比χ為實數（參見式（14）），參數W=χ+χ2-1的取值視χ而定.

（1）若χ≥1，則W=χ+χ2-1亦為實數，設其實立方根為κ，則3W的三個值為κ， e2πi/3κ， e-2πi/3κ，代入式（15）即得方程的三個根：

x1=-b+D（κ+1κ）3a，x2，3=-b+D（κ+1κ）cos2π33a±iD（κ-1κ）sin2π33a.（21）

其中κ=3χ+χ2-1，（χ∈R， χ≥1， κ∈R）.

易見x1為實根. 當χ>1時，x2，x3為共軛虛根. 當χ=1，即χ=±1時，κ=±1，x2，x3為兩個相等的實根.

（2）若χ<1，設χ=cosθ，（0<θ<π），即θ=cos-1χ，于是

W=χ+χ2-1=cosθ+cos2θ-1=cosθ+isinθ=e琲θ，

3W的三個值為e琲θ/3， e琲（θ+2π）/3， e琲（θ-2π）/3，代入式（15）即得方程的三個根：

x1=-b+D·2cosθ33a，x2=-b+D·2cosθ3+2π33a，x3=-b+D·2cosθ3-2π33a.（22）

其中θ=cos-1χ，（χ∈R， χ<1）. 顯然x1，x2，x3全都是實根，由0<θ<π可知

0<θ3<π3，2π3<θ3+2π3<π，-2π3<θ3-2π3<-π3.

因此

12

當a>0時即可判定各根的范圍如下：

-b+D3a

顯然x1>x3>x2.當a<0時，上面三個不等式中的不等號反向，即x1

3.D=0的情形

當D=b2-3ac=0 時，方程ax3+bx2+cx+d=0可以配成完全立方求解，兩邊同除以a，再利用c=b23a可將它改寫為 x+b3a3=b3a3-da. 解得

x1=-b+3b3-27a2d3a，x2=-b+3b3-27a2d·ω3a，x3=-b+3b3-27a2d·ω23a.（23）

其中ω為三次單位根（ω=-12+32i，ω2=ω=-12-32i）. 易見當b3≠27a2d時，x1為實根. x2，x3為共軛虛根.當b3=27a2d時，x1=x2=x3=-b3a，即方程有一個三重實根-b3a.

4.一般實系數三次方程的根的判別法則（D-χ判別法）

綜上所述，我們就得到了如下的判別一般實系數三次方程的根的法則，我們可以把它稱為D-χ判別法，參數D=b2-3ac（注意它和二次方程判別式的相似性）可稱為第一判別式（first discriminant），它和關鍵比χ = 9abc-2b3-27a2d2（D）3合在一起就能簡單快捷地判定實系數三次方程ax3+bx2+cx+d=0的根的情況，并決定相應的最便捷的求根公式：

（1）當D=b2-3ac<0時琜4琞，方程有一個實根和兩個共軛虛根.

可用求根公式（20）求解.

（2）當D=b2-3ac>0，χ>1時，方程亦有一個實根和兩個共軛虛根.

可用求根公式（21）求解.

（3）當D=b2-3ac>0，χ=1時，方程有一個兩重實根和一個單重實根.

仍可用求根公式（21）求解，也可以用三角求根公式（22）求解.

（4） 當D=b2-3ac>0，χ<1時，方程有三個互異的實根.

可用三角求根公式（22）求解.

（5） 當D=b2-3ac=0，b3≠27a2d時琜5琞，方程亦有一個實根和兩個共軛虛根.

可配成完全立方或用式（23）求解.

（6） 當D=b2-3ac=0，b3=27a2d時琜6琞，方程有一個三重實根-b3a.

例2 判別方程27x3-2x2+8x-4=0根的情況并求解.

解 D=b2-3ac=（-2）2-3×27×8=-644， 由D<0 可知該方程有一個實根和兩個共軛虛根，可用求根公式（20）求解.

λ= 9abc-2b3-27a2d2（-D）3 = 9×27×（-2）×8-2×（-2）3-27×272×（-4）2·（644）3ぁ2.290292896392045，

K=3λ+λ2+1 ≈1.685620470846232，

x1=-b+-DK-1K3a=2+644K-1K3×27≈0.366928020961414，

x2，3=2-644·12K-1K3×27±i644·32K+1K3×27ぁ-0.146426973443670±0.618313639592831i.

例3 判別方程x3-0.276x2+0.0136x-0.00043=0 根的情況并求其實根.

解 D=b2-3ac=（-0.276）2-3×0.0136=0.035376，

χ = 9abc-2b3-27a2d2（D）3= 9×（-0.276）×0.0136-2×（-0.276）3-27×（-0.00043）2（0.035376）3

≈1.493662011245495，

由D>0，χ>1 可知該方程有一個實根和兩個共軛虛根，可用求根公式（21）求解.

κ=3χ+χ2-1≈1.375628929048766，

實根 x1=-b+Dκ+1κ3a=0.276+0.035376κ+1κ3ぁ0.223820634031594.

例4 判別方程x3-0.5856x2+0.072x-0.002=0根的情況并求解.

解 D=b2-3ac=（-0.5856）2-3×0.072=0.12692736，

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3=9×（-0.5856）×0.072-2×（-0.5856）3-27×（-0.002）2（0.12692736）3ぁ0.842186183431575，

由D>0，χ<1可知該方程有三個互異的實根，可用三角求根公式（22）求解.

θ=cos-1χ≈0.569471258300053，

x1=-b+D·2cosθ33a

=0.5856+0.12692736·2cosθ33ぁ0.428446125903143，

x2=0.5856+0.12692736·2cosθ3+2π33ぁ0.039765810249773，

x3=0.5856+0.12692736·2cosθ3-2π33ぁ0.117388063847084.

【注解】

[1]注意復數的平方根有兩個值（它們相差一個符號），本文中的所有平方根都可以取其兩個值中的任意一個值，最終得到的解是完全相同的（除了根的編號可能不同之外），這可以稱為方根取值的自由性原則，它的原理其實就隱含在下面對各求根公式的推導過程中，因為我們對其中出現的平方根都沒有限定它取哪一個值，即它可以取任意一個值. 在實際應用中，為了方便計算，可約定各求根公式中的平方根全都取主值（參見附錄1）.

[2]對于任意非零復數a，我們總可以選取平方根-b2-3ac9a2的一個值使得它滿足-b2-3ac9a2=-（b2-3ac）3a（因為-（b2-3ac）3a2=-b2-3ac9a2，所以-（b2-3ac）3a必為-b2-3ac9a2的一個值），參見附錄1和注1.

[3]當D=0時方程的根由式（23）給出（其中的系數可取復數值）.

[4]即當關鍵比χ為虛數時.

[5]即當關鍵比χ的分母為0而分子不為0時.

[6]即當關鍵比χ的分母和分子都為0時.

附錄1 復數的方根及其性質

設|Z|為復數z的模，θ為其幅角主值（-π<θ≤π），其n次方根nz的一般值為

nz=n|z|e琲（θ+2kπ）/n=n|z|cosθ+2kπn+isinθ+2kπn，（k∈Z） ，

當k=0，1，2， …， n-1時，上式正好給出n個不同的值，我們可以把k=0對應的值即|z|e琲θ/n稱為nz的主值. 易見復數的方根有下面的性質：

nz1z2=nz1·nz2.

鑒于復數方根的多值性，上式中等號的意義是等式兩邊的值的集合相同，更具體地說，我們可以對它作如下更精細的解釋：

（1）nz1的任意一個值和nz2的任意一個值相乘都是nz1z2的一個值.

（2）固定nz1的一個值，當nz2取遍其所有值（共n個）時，乘積nz1·nz2取遍nz1z2的所有值.

（3）nz1z2的任意一個值都可以表示為nz1的任意一個值和nz2的一個值的乘積.

【參考文獻】

（美）迪克森（L.E.Dickson）著.黃緣芳譯.代數方程式論[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2011.