小議“二次根式中字母的取值范圍”

王俊

二次根式的學習是在平方根、算術平方根知識的基礎上建立的，所以從二次根式的定義、性質到二次根式的每一條計算法則和化簡法則，字母都有相應的取值范圍，以保證二次根式有意義和計算、化簡的順利進行，現羅列如下：

二次根式的定義：一般地，式子a（a≥0）叫做二次根式.

二次根式的性質：當a≥0時，a≥0（二次根式的雙重非負性）.

二次根式的計算或化簡法則：

1.當a≥0時，（a）2=a.

2.a2=|a|=a（a≥0）.

-a（a<0）.

3.二次根式的乘法法則：a·b=ab（a≥0，b≥0）.

逆之得積的算術平方根的化簡法則：ab=a·b（a≥0，b≥0）.

4.二次根式的除法法則：a[]b=a[]b（a≥0，b>0）.

逆之得商的算術平方根的化簡法則：a[]b=a[]b（a≥0，b>0）.

筆者發現，二次根式中字母的取值范圍是一個重要的知識點，有時是解決問題的關鍵，有時也是學生解題時比較容易出錯的地方，需要引起足夠的重視.現舉例如下：

一、確定字母的取值范圍

例1 能使-（x-5）2有意義的實數x的值有（）.

A.0個B.1個

C.2個D.無數個

解析 由題意得-（x-5）2≥0，所以（x-5）2≤0，則x=5，選擇B.

點評 根據二次根式的定義得：當二次根式的被開方數為非負數時，二次根式有意義.很多時候這個知識點經常還與其他知識綜合考查.

例2 要使式子a+2[]a有意義，a的取值范圍是.

解析 由題意得a+2≥0，

a≠0，可得a的取值范圍是a≥-2且a≠0.

點評 此題將二次根式有意義與分式有意義綜合在一起考查，需要對每個知識點的準確把握，學生經常顧此失彼，或混淆知識從而出錯.

例3 如果（2m-1）2=1-2m，則（）.

A.m<1[]2B.m≤1[]2

C.m>1[]2D.m≥1[]2

解析 由題意得2m-1≤0，m≤1[]2，選擇B.

點評 根據上述第2條化簡法則，對比得到此題化簡實質為：a2=-a，進而推出a≤0解決問題，許多學生解題時經常會漏考慮a=0的情況從而出錯.

例4 式子3-x[]x-1=3-x[]x-1成立的條件是（）.

A.x≥3B.x≤1

C.1≤x≤3D.1

解析 由題意得3-x≥0，x-1>0，

解得1

點評 本題根據上述第4條化簡法則a[]b=a[]b（a≥0，b>0）進行解答，若忽略對分母的考慮，和第3條化簡法則混淆，認為a≥0，b≥0就會出錯，所以極易混淆的知識點要多比較，以提高辨別能力.

二、準確抓住字母的取值范圍解決問題

1.已知字母取值范圍

例5 實數a在數軸上的位置如圖所示，則（a-4）2+ぃ╝-11）2化簡后為（）.

A.7B.-7

C.2a-15D.無法確定

解析 由題意得50，a-11<0，化簡得：

原式=|a-4|+|a-11|=（a-4）+（11-a）=7，故選擇A.

點評 本題由實數a在數軸上的位置確定a的取值范圍，從而順利解決化簡問題，此題字母a的取值范圍是化簡得以正確進行的關鍵.

2.挖掘隱含的字母取值范圍

例6 已知y=2x-5+5-2x-3，則2xy的值為（）.

A.-15B.15

C.-15[]2D.15[]2

解析 此題中2x-5，5-2x是兩個二次根式，應先考慮它們有意義，得2x-5≥0，

5-2x≥0，從而得出x=5[]2，代入原式得出y=-3，所以2xy=-15，選擇A.

點評 此題所涉及的兩個二次根式的被開方數互為相反數，它們要同時大于或等于0，只有每一個被開方數都等于0，從而得出x，y的值解決問題.

例7 已知x，y為實數，且滿足1+x-（y-1）1-y=0，那么x2011-y2001=.

解析 仔細觀察題目發現：1-y前的系數-（y-1）=1-y，所以應先考慮1-y是有意義，得1-y≥0，從而將原式轉化成1+x+（1-y）1-y=0，又因為1+x≥0，（1-y）1-y≥0，所以1+x=0，

（1-y）1-y=0，

從而解得x=-1，

y=1，故x2011-y2011=-2.

點評 本題關鍵是發現條件中第二項的系數與二次根式中的被開方數相同，利用二次根式所隱含的取值范圍得出第二項整體是一個非負數，再根據“若幾個非負數的和為0，則每一個非負數都為0”順利解決問題.

例8 已知a=2-3，化簡求值：1-2a+a2[]a-1-a2-2a+1[]a2-a-1[]a.

解析 原式=（a-1）2[]a-1-（a-1）2[]a（a-1）-1[]a

=（a-1）2[]a-1-|a-1|[]a（a-1）-1[]a.

∵a=2-3<1，

∴原式=（a-1）2[]a-1-（1-a）[]a（a-1）-1[]a=a-1+1[]a-1[]a=a-1=2-3-1=1-3.

點評 此題關鍵是抓住a=2-3<1，將（a-1）2化簡為1-a，否則將會非常容易出錯.

3.沒有字母取值范圍時需分類討論

例9 已知xy=3，那么xy[]x+yx[]y的值.

解析 因為xy=3且y[]x≥0，x[]y≥0，所以x>0，y>0和x<0，y<0都符合題意.需分兩種情況討論，現提供兩種不同解法：

解法一 直接化簡

①若x>0，y>0，原式=xxy[]x2+yxy[]y2=x·xy[]x+y·xy[]y=2xy=23.

②若x<0，y<0，原式=xxy[]x2+yxy[]y2=x·xy[]-x+y·xy[]-y=-2xy=-23.

解法二 先平方，再開方.

xy[]x+yx[]y2=xy[]x2+2·xy[]x·yx[]y+yx[]y2=xy+2xy+xy=4xy=12.

①若x>0，y>0，則xy[]x+yx[]y>0，原式=23.

②若x<0，y<0，則xy[]x+yx[]y<0，原式=-23.

所以應填：±23.

點評 此題條件只告訴我們x，y同號，所以必須分兩種情況討論，學生往往只注意第一種情況，從而漏解，所以解題時思維要縝密謹慎.

綜上所述，二次根式的有關問題解決中，必須要注意每一條法則所含的字母取值范圍，只有正確并熟練地運用這些條件才能確保解題的正確性.教學時教師應立足基本知識點，善于將題目歸類，總結解題方法，讓學生熟悉各種題型的解題技巧，同時還要引導學生對錯題進行反思和總結，提高解題能力.