高考概率問題的三個易失分點

劉月潔

面對高考，我們最大的愿望就是多得分，少失分，盡可能地提高高考分數.同學們一定會問，有沒有辦法多得分少失分？其中最重要的方法——找準高考的易失分點，對易錯易混的高考熱點問題進行辨、析、正、補，確保此類問題不再出錯，杜絕失分現象.下面就概率問題中的三個易失分點和大家一起分享，確保概率問題多得分，少失分.

一、基本事件把握不準致誤

例1 投兩枚骰子，求事件A為出現的點數之和等于3的概率.

錯解 投兩枚骰子出現的點數之和的可能數值為{2，3，4，…，12}，故P（A）=1[]11.

找準失分點 事件的發生不是等可能的，不符合古典概型的條件.

失分原因與防范措施 對于公式P（A）=m[]n（n和m分別表示基本事件總數和事件A包含的基本事件數），僅當所述的實驗結果是等可能出現時才成立.但是上述解法中找到的基本事件卻不是等可能出現的，例如取數值2和3不是等可能出現的，2只有（1，1）這樣的情況，而3有兩種情況（1，2），（2，1）.防范此類問題出錯的基本方法是充分理解古典概型的定義，驗證基本事件的有限性及等可能性.

正解 投擲兩枚骰子可能出現的情況：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），…，（6，6），基本事件的總數為6×6=36.在這些結果中，事件A只有兩種可能結果（1，2）（2，1），∴P（A）=2[]36=1[]18.

二、對互斥事件概率加法公式理解不透致誤

例2 投擲一枚正方體的玩具（各面分別標有數字1，2，3，4，5，6），事件A表示“朝上一面的數是奇數”，事件B表示“朝上一面的數不超過3”，求P（A∪B）.

錯解 因為P（A）=3[]6=1[]2，P（B）=3[]6=1[]2，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1[]2+1[]2=1.

找準失分點 事件A與B不互斥，所以不能用加法公式.

失分原因與防范措施 忽視了“和事件”概率公式應用的前提條件.由于“朝上一面的數是奇數”與“朝上一面的數不超過3”二者不是互斥事件，及出現1或3時，事件A，B同時發生，所以不能應用P（A∪B）=P（A）+P（B）求解.在解決這類問題時，一定要注意分析事件是否互斥，若事件不互斥，可以將其轉化為互斥事件來求.

正解 將A∪B分成出現“1，2，3”與“5”這兩個事件，記出現“1，2，3”為事件C，出現“5”為事件D，則事件C與D兩事件互斥，所以P（A∪B）=P（C∪D）=P（C）+P（D）=1[]2+1[]6=2[]3.

三、分不清事件的構成致誤

例3 已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗方法：

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.

（Ⅰ）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數，求ξ的期望.

錯解 設方案甲所需化驗次數為η，則η的所有可能值為1，2，3，4，5.根據方案甲，患有疾病的1只動物在每一次化驗時出現的概率是等可能的，由前面分析知，其分布列為：

找準失分點 逐個化驗，直到能確定患病動物為止，最多化驗次數為4.

失分原因與防范措施 本題易錯的地方是沒有考慮這是一個實際問題，對于甲方案，患有疾病的一只動物在每一次化驗時出現的概率是等可能的，考生易誤認為化驗次數的等可能取值為1，2，3，4，5，事實上，若前4次化驗為陰性，第5次不需要再化驗即知最后一只為患病動物，所以化驗次數只能取1，2，3，4；類似地，對于乙方案，第一次化驗呈陽性，再化驗3只中的前兩只呈陰性后也不需要再化驗，或第一次化驗呈陰性，再化驗另外2只中的第一只呈陰性或陽性后也不需再化驗，及化驗次數只能取2，3.在解決有關分布列的問題時，在求隨機變量的分布列之前，要弄清楚隨機變量可能取到的每一個值時所表示的意義，然后再利用所學的概率知識求出隨機變量取每一個值時的概率，從而求出分布列，還要檢驗所有概率之和是否為1.

正解 （Ⅰ）對于甲：

對于乙：

若甲的化驗次數不少于乙的化驗次數，則P=0.2×0.6+0.2×（0.6+0.4）+0.4（0.6+0.4）=0.72.

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數，ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4.

對于失分點的尋找，我們發現，在高考中容易失分的問題大致可以歸納為以下幾類，在以后的解題中，應更加注意.1.概念不清，理解不透，特別涉及一些特殊情況，更容易混淆；2.定義、定理、公式掌握不準確，易忽略前提條件；3.思路分析不到位，不能自覺地運用數學思想方法去分析和解決問題.