用線性映射的理論解決線性方程組問題

李曉琴

【摘要】本文用線性映射的觀點解決了線性方程組的三個基本問題：解的存在性、解的數量、解的結構.

【關鍵詞】線性映射；線性方程組；解的存在性；解的數量；解的結構

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一、線性映射

1. 相關概念

定義1 設V，W是數域F上的兩個向量空間，如果映射：τ：V→W滿足

τ（aα+bβ）=aτ（α）+br（β），α，β∈V，a，b∈F，則稱τ是V到W的一個線性映射.

定義2 向量空間V在τ之下的象集是W的一個子集，叫作τ的象，記作Im（τ），即Im（τ）={τ（α）|α∈V}.

定義3 把W的零子空間{0}在τ之下的原象的集合，叫作τ的核，記作核（τ），即核（τ）={α|α∈V，且τ（α）=0}.

2.基本性質

設τ是數域F上向量空間V到向量空間W的一個線性映射.

性質1 Im（τ）是V的一個子空間，核（τ）是W的一個子空間.

性質2 設α1，α2，…，α璶是向量空間V的一個基，

則Im（τ）={a1τ（α1）+a2τ（α2）+…+a璶τ（α璶）|a璱∈F，i=1，2，…，n}=L（τ（α1），τ（α2），…，τ（α璶））.

性質3 設dimV=n，則dim Im（τ）+dim核（τ）=n.

以上性質在一般的高等代數教材中均有證明，在此不予證明.

二、線性方程組理論

一般線性方程組的基本問題有三個：解的存在性、解的數量、解的結構.下面我們用線性映射的性質來解決這些問題.

設數域F上的n元線性方程組為

a11X1+a12X2+…+a1nX璶=b1，

a21X1+a22X2+…+a2nX璶=b2，

……

a璵1X1+a璵2X2+…+a璵nX璶=b璵.

（1）

簡記為AX=B，其中A為（1）的系數矩陣，B=（b1，b2，…，b璵）琓，X=（X1，X2，…，X璶）琓.

定義 τ：α|→Aα，α=（a1，a2，…，a璶）琓∈F琻.

由定義1容易得τ是向量空間F琻到F琺上的一個線性映射，并且

τ（α）=Aα，α∈F琻；Im（τ）=L（A1，A2，…，A璶）；dim Im（τ）=秩（A）.

其中，A璱=（a1i，a2i，…，a璵i）琓∈F琺，（i=1，2，…，n），A=（A1，A2，…，A璶）.

1.齊次線性方程組AX=0的解及結構

由上述向量空間F琻到F琺上的一個線性映射τ的定義可知：對于α∈F琻，α是AX=0的解當且僅當α是核（τ）中的元素，因此，AX=0的解集就是核（τ）.于是，我們有

結論1 AX=0只有零解諍耍é櫻={0}赿im核（τ）=0赿im Im（τ）=n謚齲ˋ）=n.

結論2 AX=0有非零解贏x=0有無窮多個解赿im核（τ）>1謚齲ˋ）

當AX=0有非零解時，設γ1，γ2，…，γ璼是向量空間核（τ）的一個基，那么AX=0的全部解構成的集合為{a1γ1+a2γ2+…+a璼γ璼|a璱∈F，i=1，2，…，s}.

2.線性方程組AX=B的解及結構

AX=B有解，則存在α∈F琻，使得τ（α）=Aα=B∈F琺，所以

結論3 AX=B有解贐∈Im（τ）贐可以由A1，A2，…，A璶線性表示謚齲ˋ）=秩（A1，A2，…，A璶，B）=秩（A1，A2，…，A璶）=秩（A）.

設α0是AX=B的一個固定解，對AX=B的任意解γ，令α0-γ=β，則β是AX=0的解，所以，AX=B的解的集合是{α0+β|β∈核（τ）}.于是

結論4 AX=B有且僅有一個解贏X=B有解且AX=0只有零解謚齲ˋ）=秩（A）=n.

結論5 AX=B有無窮多個解贏X=B有解且AX=0有無窮多個解謚齲ˋ）=秩（A）

因此，當線性方程組AX=B有無窮多個解時，它有解集為：

{α0+a1γ1+a2γ2+…+a璼γ璼|a璱∈F，i=1，2，…，s}.

其中，α0是AX=B的一個固定解，γ1，γ2，…，γ璼是向量空間核（τ）的一個基，即γ1，γ2，…，γ璼也是AX=0的一個基礎解系.