關于冪級數求和的探討

劉華 楊寶珍 景慧麗

【摘要】冪級數求和是無窮級數這一章的重點和難點.本文結合教材中的錯例分析了學生的錯誤及錯誤原因，并對冪級數求和問題進行了探討，給出了解決方法.

【關鍵詞】冪級數；和函數；收斂域

【基金項目】第二炮兵工程學院精品課程建設資助項目

冪級數是高等數學課程中非常重要的知識點，而其中有關冪級數求和問題是這部分內容的重點和難點.本文從一個錯例（《高等數學》（同濟大學第五版））入手，分析了學生的錯誤及錯誤原因，然后結合該例探討冪級數求和的相關問題.

例1 求冪級數А啤轠]n=0x琻[]n+1的和函數（原書例6）.

解 先求收斂域.由limn→∞a璶+1[]a璶=limn→∞n+1[]n+2=1得收斂半徑R=1.

在端點x=-1處，冪級數成為А啤轠]n=0В-1）琻[]n+1，是收斂的交錯級數；

在端點x=1處，冪級數成為А啤轠]n=01[]n+1，是發散的.因此收斂域為I=[-1，1].

設和函數為s（x），即

s（x）=А啤轠]n=0x琻[]n+1，x∈[-1，1）.（1）

于是

xs（x）=А啤轠]n=0x琻+1[]n+1.（2）

利用性質3，逐項求導，并由

1[]1-x=1+x+x2+…+x琻+…，（-1

得

[xs（x）]′=А啤轠]n=0x琻+1[]n+1=А啤轠]n=0x琻=1[]1-x，（|x|<1）.（4）

對上式從0到x積分，得

xs（x）=А要瑇01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）

于是，當x≠0時，有s（x）=-1[]xln（1-x），

而s（0）可由s（0）=a0=1得出，

故

s（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），

1，x=0.（6）

一、錯誤及原因分析

1.忽略冪級數的起始項

例如在求解冪級數А啤轠]n=1x琻的和函數時，有學生就很容易將其和函數寫為s（x）=1[]1-x，而事實上其和應該為s（x）=x[]1-x.該錯誤產生的原因在于學生忽略了冪級數的起始項，習慣性的把第一項默認為1.

2.忽略和函數的定義域

產生該錯誤的原因，主要是學生對和函數的概念理解不透徹.無窮多項求和其和并不總是存在的，即不總是收斂的，所以在求和函數時，首先要判斷在哪些點處和是存在的，這些點的集合就是和函數的定義域，即冪級數的收斂域.

3.錯誤地給出和函數的定義域，即冪級數的收斂域

該錯誤的產生主要源于利用和函數的分析性質求解和函數時，忽略了收斂域的變化.上述例子中的（5）式就出現了這方面的錯誤.

4.忽略了收斂域中的特殊點

在上述例子式中，利用（5）求s（x）時，需要在等式兩邊同時除以x.此時，當x≠0時，才有s（x）=-1[]xln（1-x），因此，對x=0還要單獨求解s（0）.

二、求冪級數和函數時應注意的問題及應對措施

1.標注和函數的定義域

和函數的定義域不同于一般函數的定義域，其定義域事實上為與和函數相對應的冪級數的收斂域，因此在和函數表達式之后應正確標注x的取值范圍，即和函數的定義域.為避免在這里出現錯誤，在求解和函數時，應首先求出所求冪級數的收斂域.嚴格按照先求收斂域再求和函數的步驟求解能很好地解決這一問題（參看教材[1]中例6）.

2.注意收斂域與級數的匹配

利用和函數的分析性質求解和函數是解決冪級數求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性質2和性質3，簡稱為逐項求積和逐項求導.但這兩條性質都只說明變化后的級數其收斂半徑不發生變化，未對收斂域的情況進行詳細說明.事實上，逐項積分后所得冪級數的收斂域有可能擴大，即有可能把收斂區間的端點包含進來；逐項求導后所得冪級數的收斂域有可能縮小，即有可能把收斂域的端點去掉.應對這一問題，只需要在利用逐項求導和逐項求積時，對端點處的收斂性重新判斷即可.

3.注意等式變化過程中x的取值問題

比如在（5）式中，求解s（x）時，需要在等式兩邊同時除以x.此時x不能取零，但x=0又是收斂域中的點，因此需單獨求解s（0）.對這一問題，需要在等式變化過程中，關注x的取值變化.對收斂域中不能取到的點x0，應單獨求解s（x0）.可用以下兩種方法，方法一：求解x=x0時對應的常數項級數的和.方法二：利用和函數的連續性求解x=x0時對應的常數項級數的和.

【參考文獻】

[1]同濟大學應用數學系主編.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2002：214.

[2]華東師范大學數學系主編.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001：47.