大的偶數都可表為兩個奇素（質）數之和正確性的奇妙證明（2012年完整版）

沈逸軒

現將大偶數都可表為兩個奇素（質）數之和的奇妙證明，分三方面敘述如下.

一、260多年的研究簡要歷史

以史為鑒，知興替.1992年獲中國圖書一等獎和最優秀十大暢銷書之一的《中國少年兒童百科全書.科學技術卷》等有關科普著作介紹，哥德巴赫猜想260多年的研究簡要歷史如下.

1742年，德國數學家哥德巴赫給大數學家歐拉（Euler，1707—1783）的一封信中提出一組數學猜想，這組數學猜想最后歸結為：每一個2N≥6的偶數都可表為兩個奇素數之和.歐拉用相當精力研究后，回信說，這個猜想是正確的，但不能證明.

1900年在巴黎召開的第二次國際數學家大會上，譽為古今中外十大數學家之一的德國的希爾伯特（Hilbert，1862—1943）在大會報告中，提出了20世紀全世界數學家需要共同努力解決的23個問題，其中第8個問題是素數問題，其中包括哥德巴赫猜想.

1912年在英國劍橋召開的第五次國際數學家大會上，來自德國哥廷根大學的著名數學家蘭道指出：在數論領域中，有四個難題以當時的數學水平是不可能很快解決的，這四個難題中包括“哥德巴赫猜想”.

1920年，挪威數學家布朗用古老的“篩法”證明了“每一個大偶數是二個素因子都不超過九個的”數之和，俗稱（9+9）.1958年中國王元證明了（2+3）.用此法證明的成果有一個弱點，就是其中的二個數沒有一個是可以肯定為素數.

1948年，匈牙利數學家蘭恩易仍主要用“篩法”證明了：每一個大偶數都是一個素數和一個“素因子不超過六個的”數之和，即他證明了（1+6）.1962年，中國潘承洞證明了（1+5）.同年，中國王元、潘承洞證明了（1+4）.1956年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和龐皮艾黎證明了（1+3）.1966年，中國陳景潤（1933—1996）證明了（1+2）.當時論文長達兩百多頁，不斷簡化后，1973年才發表.

陳景潤在《初等數論Ⅰ》（科學出版社，1978年12月）第9頁寫道：“這個哥德巴赫猜想直到現在還沒有肯定的或否定的答案，我們認為哥德巴赫猜想是肯定的可能性很大.這個問題現在最好的結果是：每一個充分大的偶數都是一個素數及一個不超二個素數的乘積之和.華羅庚、王元、潘承洞、丁夏畦、尹文霖和陳景潤都曾經在這方面進行過不少工作.”

1986年，英國出了本書——《數學新的黃金時代》（基斯·德夫林著，李文林等譯，上海教育出版社，2001年11月），2001年11月再版時，世界級著名數學家陳省身在第2頁作序為：“開創新世紀的數學文化.”該書第6頁寫道：“計算機已對100，000，000以下的所有偶數作了驗算，證明對于這些數哥德巴赫猜想成立；但是時至今日，還沒有適當的辦法證明整個猜想的正確性.”

以上就是1742—2007年哥德巴赫猜想研究的簡要歷史.

二、奇妙的證明和一個推論

為了證明大偶數都可表為兩個素數之和的正確性，用中國孫子兵法的“以正合，以奇勝”的思維，引入比爾·蓋茨（Bill Gates，1955—）在《未來之路》一書中，提倡的“技術上相互兼容”的原則，啟用構建新函數等新思維，建立如下7個引理.

引理1 引用韋達（Vieta，法國，1540—1603）定理和逆定理，構造方程

X2-2NX+P4P5=0.（1A）

當正整數2N≥6，則方程（1A）有N組P4，P5都是正整數的解.

證 據《初中三年級數學》一書（楊騫主編，科技文獻出版社，2003年3月）第50頁，方程（1A）有兩個正整數根的判定公式是：

Δ=（2N）2-4P4P5=m20.（1—1）

（1—1）式中，m0為非負整數，（1—1）式可化為：

N2-P4P5=m2.（1—2）

（1—2）式中m為非負整數，可化為：

N2-m2=P4P5=（N-m）（N+m）. （1—3）

由（1—3）式得出：當m=0，1，…，（N-1）都有非負的P4，P5整數解，共有N組，引理1證畢.即（1）式有N組正整數解，且P4P5可表為N組正整數解的乘積.

當能證明N組解中，有一組P4，P5都是奇素數，則據韋達定理和逆定理，方程（1）成立，本題獲證.以下據此思維進行探索.

引理2 正整數正因數個數d（n）定理.設a ， b是二個正整數，且a， b互素，a，b的標準分解分別為：a=ρ瑇11…ρ瑇璶璶，b=δβ11…δβ璶璵，其中ρ1…ρ璶，δ1…δ璵都是素數，而

χ1…χ璶，β1…β璵都是正整數，則a乘b的正因數的個數d（ab）=d（a）·d（b）=（x1+1）…（x璶+1）（β1+1）…（β璵+1）.

（2A）

證 此定理引于陳景潤《初等數論Ⅱ》（科學出版社，1980年5月），詳細證明見該書79～80頁.北京景山學校編《中學生百科知識日讀（下）》（知識出版社，1983年）582～583頁也給出了相應知識和公式.

當N≥3是常數，可用（2A）式求出N組解的d（p4p5），以m為橫坐標，d（p4p5）為縱坐標，成不連續的波浪狀點，以下構造方程，求d（p4p5）的最小值.

引理3 一元連續函數的介值定理.假若f（X）在區間[a，b]上連續，f（a）≠f（b），而C是介于f（a）與f（b）之間的任一值，那么[a，b]上至少有一點X1，滿足f（X1）=C.

證 此定理引于《一元函數微分學》（趙慈庚，上海科技出版社，1980年7月）221～223頁.由《大學生數學手冊》（郭大均主編，山東科技出版社，1985年9月）128頁，閉區間上連續函數的介值性也得出同樣成果.

引理4 陳氏定理，每一個充分大的偶數都是一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和.

證 引于《初等數論Ⅱ》（陳景潤，科學出版社，1978年12月）第9頁.

據陳氏定理，由（1）式得：2N=P1+P2P琸璶.（1—1）

（1—1）式中，當2N≥6，P1，P2，P璶都是素數，k=0或1.

引理5 構建初等函數方程

f（m）=N2-m2=P1P2P琗璵璶.（3A）

其中：正整數N≥3是常數，0≤m≤（N-1）是連續變數，P1，P2，P璶是素數，P1，P2指數為1，0≤X璵，1≤P琗璵璶=N2-m2[]P1P2.

證 據“高級中學課本微積分初步（甲種本）”（人民教育出版社數學室，人民教育出版社，1985.9，33～150頁，下稱高中課本），當1≤P琗璵璶定義在0≤X璵，P琗璵璶是基本連續函數，取值在[1，+∞＼），故是P琗璵璶取值范圍內，據引理3.

P琗璵璶=N2-m2[]P1P2成立，故（3A）式成立，即：

1≤N2-m2[]P1P2，f（m）=P1P2P琗璵璑=N2-m2.（3A）

上述（3A）式有兩個重要特性.

3—1 據高中課本33～35頁連續函數知識，上述（3A）式是一個在0≤m≤（N-1）定義域上的連續函數.

3—2 （3A）式求d（m）最小值時符合引理4，表述極小值的要求.

因為由（1—1）式和（3A）式，可得：

N2-m2=P1P2P璑琄，其中K在（3A）式X璵定義范圍內.

引理6 據引理2和引理5，求f（m）方程的d（m）值的方程可表為：

d（m）=（1+X1）（1+X2）（1+X璵）=41+ln（N2-m2）-lnp1p2[]lnp璶

.（4A）

證 由于（3A）式中，X1=X2=1，故

（1+X1）（1+X2）=4.（4 —1）

由（3A）式得：

N2-m2=P1P2P琗璵璶.（3A）

（3A）式兩邊取自然對數，化簡后，得：

X璵=ln（N2-m2）-lnP1P2[]lnP璶.（4 —2）

將（4 —1）和（4 —2）代入（4A），（4A）式成立.引理4證畢.

引理7 方程（4A）的d（m）的最小值中必有一個為4或3.

證 為求方程（4A）的d（m）的最小值，當N≥3為常數，0≤m≤（N-1），m為主變量，據高中課本33～35頁，（4A）式是一個初等連續函數，用高中課本73頁求商的導數公式，得（4A）式d（m）的導數是：

d′（m）=4[ln（N2-m2）-lnP1P2]′lnP璶-[ln（N2-m2）-lnP1P2]ln′P璶[]ln2P璶.（5 —1）

據高中課本133～144頁的知識為求（4A）式d（m）最小值，令導數d′（m）=0，得：[ln（N2-m2）-lnP1P2]′lnP璶=[ln（N2-m2）-lnP1P2]ln′P璶.

（5 —2）

由（5 —2）式，當P璶=1，lnP璶=0；同時據（3A）式，當P璶=1，N2-m2=P1P2，即：ln（N2-m2）=lnP1P2.

故（5 —2）式兩邊同時為0，即（5 —2）式成立.

故P璶=1，是導數d′（m）=0的一個解.用（4A）式求d（m）最小值，涉及0[]0的不定值高難度求解.故改用（3A）式求d（m）.由（3A）式，當P璶=1，則

N2-m2=P1P2.

（5 —3）

由引理2，得P1P2的d（m），當P1≠P2，d（m）=（1+1）（1+1）=4，當P1=P2，d（m）=（1+2）=3.引理7證畢.

由于引理1，2，3，4，5，6和7成立，故（1）式成立，即哥德巴赫猜想成立.表述如下：

由于N≥3為整數，P1，P2是素數，用（5 —3）式，兩邊乘4，得：

（2N）2-（2m）2=4P1P2.（6 —1）

即：（2N）2-4P1P2=（2m）2=m20.（6 —2）

用（6 —2）式與引理1中的（1 —1）式對比，得：

X2-2NX+P1P2=0.（6 —3）

對比（6 —3）與引理1中的（1A）式，據韋達定理與逆定理，知素數P1，P2是（1A）式的兩個正整數根.

故有P1，P2是（1）式的一組解，故：

2N=P1+P2=P4+P5.（6 —4）

由于2N≥6，且為偶數，偶素數只有2，因此必有一組P1，P2均為奇素數.故每一個2N≥6的偶數都可表為兩個奇素數之和成立.

1742年提出的哥德巴赫猜想正確性得到奇妙的證明.

從以上證明得出一個推論：乘法公式

N2-m2=（N+m）（N-m）=P1P2.

在整數范圍內（N，m，P1，P2都是整數），對每一個正整數N≥3，必有一個表法是唯一的表達式.即：P1=（N+m），P2=（N-m）是素數.

三、三個對比和三個價值

1.三個對比

陳景潤定理是本命題研究2007年前的最好成果，與本研究成果進行三方面比較如下.

（1）使用基本方法的比較.陳景潤成果用“篩法”為基本方法，譽為“篩法”的“光輝頂點”.本成果是用多個中學數學知識為基礎，繼承陳氏定理，構建新的連續函數理念，加以科學的聯合運用.

（2）成果完整性比較.陳氏定理是本命題的階段性成果，俗稱（1+2），本成果是命題成果，可稱為（1+1），即此命題研究已達終點.

（3）成果可讀性和文稿長短的比較.陳景潤定理只有少數高級數論大師才能看懂，本成果，優秀高中畢業生有2%能看懂，全世界看懂超過千萬人.陳景潤定理簡化后仍有約兩萬多字，本成果全部不足五千字.

2.本成果的三個價值

本成果的三個價值是：一是用多方面中學數學知識為基礎，構建新的連續函數和理念后，聯合科學運用，得出奇妙的證明，豐富了數論的科研方法和內容，且千百萬人能看懂，對啟發知識創新有很大參考價值.二是由于古今古典世界六大數學難題，找到了奇妙證明，全部古典六大數學難題已解決，有很大歷史文化價值.三是再證明了20世紀最偉大的思想家和科學家愛因斯坦（Einstein，1879—1955）一句名言的價值：據景山學校編《中學生百科知識日讀》（知識出版社，1983）645頁，愛因斯坦認為“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步”.