圓錐曲線切線的幾個有趣性質

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內容，又是高中數學的重點和難點，因而成為歷年高考必不可少的考查對象.圓錐曲線的主要內容之一是其切線問題，學生往往在求解和證明圓錐曲線問題時感到力不從心，甚至產生厭學情緒，為了幫助學生擺脫這種困境，培養學生對數學的興趣，對圓錐曲線的切線問題有深刻認識，拓寬解題思路，本文通過采用添加輔助線的方法，得到了以下5個有趣的性質，以供參考.

性質1 設F為圓錐曲線（離心率為e）的一個焦點，

其相應的準線為l.一直線交圓錐曲線于M，N，交l于P，則FP平分∠MFN的外角.

圖 1

證明 如圖1，過M，N作準線l的垂線，垂足分別是K，Q.

由圓錐曲線的定義有

|MF|[]|MK|=|NF|[]|NQ|=e，

∴|MF|[]|NF|=|MK|[]|NQ|.（1）

又由MK⊥l，NQ⊥l知|MK|[]|NQ|=|MP|[]|NP|.（2）

由（1）（2）有

|MF|[]|NF|=|MP|[]|NP|.

由三角形外角平分線定理的逆定理知FP平分∠MFN的外角.

性質2 設F為圓錐曲線的一個焦點，其相應準線為l，

過圓錐曲線上一點M的切線交準線l于P，則PF⊥MF.

證明 如圖2，延長MF交圓錐曲線于M1.在性質1中，

當N與M重合時，直線PNM成為與圓錐曲線相切于點M的切線PM，∠NFM1成為平角∠MFM1.由性質1知FP平分∠NFM1，即FP平分∠MFM1，故PF⊥MF.

圖 2

性質3 設F1，F2是橢圓（離心率為e）的兩個焦點，

點M是橢圓上異于長軸兩端點的任一點，則在橢圓上的點M處的切線和法線分別平分∠F1MF2及它的外角.

圖 3

證明 過M的切線交準線l于點P，法線交長軸于N.

如圖3，設點D，E分別在射線F1M，NM上，連接PF2.

由性質2知∠MF2P=90°，作MM′⊥l，垂足為M′，連接F2M′，知點M，M′，P，F2四點共圓，MP是直徑.由MN⊥MP知MN是這個圓的切線，從而

∠NMF2=∠MM′F2，∠MF2N=∠F2MM′.

∴△MF2N∽△M′MF2.

∴NF2[]MF2=MF2[]MM′=e.（1）

同理NF1[]MF1=e.（2）

由（1）（2）知NF2[]MF2=NF1[]MF1，即NF1[]NF2=MF1[]MF2.

由三角形內角平分線定理知MN平分∠F1MF2，即∠F1MN=∠F2MN.

由法線定義知∠EMD+∠PMD=∠PMF2+∠F2MN=90°.

又 ∵∠EMD=∠F1MN=∠F2MN，

∴∠PMD=∠PMF2.

故MP平分∠F1MF2的外角∠F2MD.

性質4 設F1，F2是橢圓的兩個焦點，A1，A2是長軸兩

端點，

過橢圓上異于A1，A2的任一點M作橢圓的切線，過F1，F2作切線

的垂線，垂足分別是B，C，則B，C在以A1A2為直徑的圓上.

圖 4

證明 如圖4，設橢圓的中心為O，直線F1M與直線F2C相交

于D，連接OC，OB.由性質3知MC平分∠F2MF1的外角∠F2MD.

∵MC⊥F2D，∴C是F2D的中點，且有MD=MF2，從而有

OC=1[]2F1D=1[]2（F1M+MD）=1[]2（F1M+MF2）=1[]2A1A2.

∴點C在以A1A2為直徑的圓上，同理點B也在以A1A2為直徑的圓上.

性質5 P為橢圓外一點，PA，PB是橢圓的兩切線，

A，B為切點，F1，F2為橢圓的兩焦點，則PF1，PF2分別平分∠AF1B，∠AF2B.

圖 5

證明 如圖5，過F1，F2分別作PA，PB的垂線，交直線F2A，F1B的延長線于點F′1，F′2，交直線PA，PB延長線于C，D，連接PF1，PF2，PF′1，PF′2.

由性質3知∠F1AC=∠F′1AC，又PC⊥F1F′1，

∴AF1=AF′1，PF1=PF′1.

∴△PF1A≌△PF′1A.

∴∠PF1A=∠PF′1A.（1）

∴F2F′1=AF′1+AF2=AF1+AF2=2a.

同理F1F′2=BF1+BF′2=BF1+BF2=2a，

PF2=PF′2.

∴△PF1F′2≌△PF′1F2.

∴∠AF′1F2=∠PF1B.（2）

由（1）（2）知∠PF1A=∠PF1B，故PF1平分∠AF1B，

同理可證PF2平分∠AF2B.