數學思想方法在高考選擇題中的應用

黎華 李碧榮

【摘要】數學思想方法是數學的靈魂，是開啟數學知識寶庫的金鑰匙，它為分析、處理和解決數學問題提供了指導方針和解題策略.本文闡述了中學數學中所涉及的五種主要數學思想方法，并結合2011年各省市高考數學試題，就五種數學思想方法在選擇題中的應用做個淺析.

【關鍵詞】高考選擇題；數學；思想方法

數學在培養和提高人的思維能力方面有著其他學科所不可替代的獨特作用，這是因為數學不僅僅是一種重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一種思維模式.

數學思想方法揭示了數學學習的本質，比數學知識具有更大的統攝性和包容性，它們猶如網絡，將全部數學知識有機地編織在一起，形成環環相扣的結構和息息相關的系統.

一直以來，高考十分重視對于數學思想方法應用的考查，所以考生應該善于通過應用數學思想方法分析問題、解決問題，來提升自己的數學能力，培養自己的數學素質.

高考數學選擇題在當今高考試卷中占分比例高，約占總分的40%.其特點是概括性強，知識覆蓋面寬，小巧靈活，有一定的綜合性和深度，滲透考查各種數學思想和方法.考生能否迅速、準確、全面、簡捷地解好選擇題成為得分的關鍵，而考生能否快速準確地解題，就在于掌握并運用數學思想方法的能力.

下面結合2011年各省市高考數學試題，就五種數學思想方法在選擇題中的應用做個淺析.

一、函數與方程的思想

函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.方程思想是指從問題的數量關系入手，用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.有時，還能實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的.函數與方程思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的考查重點.

例1 （2011浙江卷理8）已知橢圓C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）與雙曲線C2：x2-y2[]4=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則

A.a2=13[]2B.a2=13

C.b2=1[]2D.b2=2

分析 本題利用方程思想，通過建立漸近線方程與橢圓方程的關系，從而求解出答案.

利用漸近線方程將橢圓方程化為b2x2+（b2+5）y2=（b2+5）b2.∵橢圓與雙曲線有公共焦點，則有x2=（b2+5）b2[]5b2+20.又∵C1將線段AB三等分，∴1+22×2（b2+5）b2[]5b2+20=2a[]3，解得b2=1[]2.故選C.

注 我們應用函數思想的幾種常見類型有：

（1）把字母看作變量或把代數式看作函數.

（2）用函數和方程的性質解題.

（3）構造函數解題.

二、數形結合的思想

數形結合的思想方法，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，由數想形，以形助數，具有可以使問題直觀呈現的優點，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.

但是，在高考選擇題中，主要是數到形的轉化，以借助圖形的直觀性研究數的問題，最終實現數形結合的目標.

數到形的轉化工具有：坐標法、方程曲線和函數圖像.

例2 （2011陜西卷理6）函數f（x）=x-cosx在[0，+∞）內（）.

A.沒有零點 B.有且僅有一個零點

C.有且僅有兩個零點D.有無窮多個零點

分析 本題可以采用數形結合的思想，關鍵在于如何將數轉化成形.

令f（x）=x-cosx=0，則x=cosx.設函數y=x和y=cosx，如圖，它們在[0，+∞）的圖像的交點有且只有一個，所以函數f（x）=x-cosx在[0，+∞）內有且僅有一個零點.故選B.

注 在應用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義，以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍.

三、分類與整合的思想

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法.

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想方法，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.由于這類數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，對學生能力的考查有著重要的作用，因而在高考試題中占有重要的位置.

例3 （2011山東卷理4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（）.

A.[-5，7] B.[4，6]

C.（-∞，-5]∪[7，+∞）D.（-∞，-4]∪[6，+∞）

分析 本題考查解絕對值不等式的知識，在求解的過程中需對x的取值范圍進行分類，再綜合考慮.題目中需把5與-3作為臨界點，分類討論，最后得x≥6或x≤-4，故選D.

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：（1）要確定討論對象，以及所討論對象的全體的范圍；（2）確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重；（3）對其逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；（4）進行歸納小結，綜合得出結論.

四、化歸與轉化的思想

化歸與轉化的思想是指在解決問題時，采用某種手段使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數學學科與其他學科相比，一個特有的數學思想方法.化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題.如：未知向已知的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，高次向低次的轉化等，都是轉化思想的體現.

例4 （2011遼寧卷理3）已知F是拋物線y2=x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y軸的距離為（）.

A.3[]4B.1C.5[]4D.7[]4

分析 本題考查學生的等價轉換能力，將問題轉化成梯形中位線問題，從而過渡求解中點C的橫坐標.由拋物線定義知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|，則中點C的橫坐標為3[]2-1[]4=5[]4.故選C.

在高考中，對化歸思想的考查，總是結合對演繹證明、運算推理、模式構建等理性思維能力的考查進行，我們在解每一道題時，實際上都在轉化和類比.將問題由難轉易，由陌生的問題轉為熟悉的問題，從而從問題得到解決.因此可以說高考中的每一道試題，都在考查化歸意識和轉化能力.

五、特殊與一般的思想

由特殊到一般，再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一.在研究數學問題時，特殊與一般相結合也是一種既普遍又有效的思想方法.特別是在解答選擇題時，若能恰當利用特殊與一般的辯證關系，則能快速解決問題，為高考爭取時間.

特殊與一般相結合的思想在解題中的應用主要表現在：一是特殊賦值法，即通過給變量賦值達到迅速判斷的目標；二是抓住問題的某個特殊條件展開分析和思考；三是由部分特殊情形歸納總結出一般的數學規律.

例5 （2011遼寧卷理9）設函數f（x）=21-x，x≤1，

1-log2x，x>1，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（）.

A.[-1，2]B.[0，2]C.[1，+∞）D.[0，∞）

分析 本題運用特殊值法能更快解決問題.觀察四個選項中包含的特殊點，分別取x的特殊值0、2、3，都能滿足題意，則選D.

一般地，這種特殊與一般的辯證思想往往貫穿于整個解題過程之中.特殊化可使我們對問題的認識更加具體、明確，而一般化則使我們對問題的認識更加深刻、全面.“從特殊到一般，再由一般到特殊”正是這一數學思想的具體體現.

眾所周知，知識是形成能力的基礎，但知識并不等于能力，掌握數學思想方法是形成能力、完善思維的必要條件.因此，要全方位提高學生的數學素質乃至科學素質，在中學數學教學中，不僅僅需要知識的教學，更要注意強化數學思想方法的教學.