對集合的特性理解的一點淺見

孫永平

【摘要】集合是考查同學們能力與學習潛力的很好的命題素材，它不僅是中學數學的基礎，同時也是支撐代數大廈的基石.由于集合的確定性、互異性、無序性使集合形成了一套嚴密的邏輯系統，因此要學好集合，必須對集合的三大特性有深刻透徹的理解.本文將對集合的三大特性進行較為詳盡的闡述，供參考.

【關鍵詞】集合；特性；確定性；互異性；無序性

高一《數學》必修1的教學一開始就要從集合的概念入手，由于集合的概念是在承繼康托爾（Cantor）的描述性概念，所以初上高一的學生理解起來還是比較困難的，為此，本人對其三個特性做了一點研究，得到了一些有用的結論，教學效果也比較好，現把它整理出來，和同行共享.

集合的概念在書本上只是這樣描述的：一般地，我們把研究對象統稱為元素（element），組成的總體叫作集合（set）（簡稱集）.這種描述性的概念對學生來說，理解得不透，很容易對集合的三個特性的問題設置中出現疑問，我認為從以下三個方面來理解會使學生對函數的概念理解得更加透徹.

一、集合中元素的確定性

給定的集合，它的元素必須是確定的.也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中是確定的，要么在，要么不在，二者必居其一.換句話來說，組成一個集合的元素是確定的，不能不清楚標準，模棱兩可.如：“高一年級長得比較帥的同學”“《數學》第一章中比較難的數學題目”“本班身材比較高的同學”“高一年級肺活量比較大的男同學”等等，這些元素都沒有確定性，因而就構不成集合，任給一個元素，無法確定該元素是否在這個集合內.但是，像“高一·一班的全體男同學”“高一·一班個子最高的同學”“不小于2的全體實數”等中的元素是確定的，可以組成集合.

例1 已知-1∈A={x，x2}，求x.

分析 由于-1是A中的元素，因此x，x2中必有一個等于-1，而x2≥0，所以x=-1.

解 ∵-1∈A={x，x2}，

而x2≥0，

∴x=-1.

二、集合中元素的互異性

一個集合中的元素是互不相同的，相同的元素放入一個集合只能算一個.在這個意義下，集合中的元素相當于“類”，一個元素在一個集合中相當于“一類”.關于集合中元素的互異性，考查的很多，應給學生多舉幾個復雜一點的例子，以加深理解.如：

例2 1∈A={x，x2}，求x.

解析 ∵1∈A={x，x2}，

∴x=1或x2=1（解得x=±1）.

而x=1與集合中元素的互異性相矛盾，

因此x=-1.

三、集合中元素的無序性

集合中的元素是沒有順序的.從這方面來說，集合就像一個“麻袋”，把任何東西都可以作為元素裝進這個“麻袋”.無論以怎么樣的順序裝進去都指這個集合.如{a，b，1，2，課桌，小汽車}={課桌，b，1，小汽車，2，a} .

當把集合的互異性和無序性結合在一起的時候，題目相對來說就會復雜一些，這種題目對學生理解集合的概念、特性幫助很大.

例3 已知集合A={1，1+d，1+2d}，集合B={1，q，q2}，若A=B，求實數d，p的值.

解析 由A=B得1+d=q，

1+2d=q2，

①或1+d=q2，

1+2d=q.②

由①得q=1，

d=0，

∴A=B={1，1，1}，不符合元素的互異性，舍去.

由②得q=-1[]2，

d=-3[]4，

或q=1，

d=0.

（舍去）.

經檢驗，q=-1[]2，

d=-3[]4符合題意.

例4 已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值.

析 ①若a+b=ac且a+2b=ac2，消去b得：a+ac2-2ac=0，即a（c2-2c+1）=0.

當a=0時，集合B中的三元素均為零，這與元素的互異性矛盾，故a≠0.

當c2-2c+1=0，即c=1時，集合B中的兩元素又相同，故c≠1.

②若a+b=ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2-ac-a=0.

∵a≠0，∴2c2-c-1=0，即（c-1）（2c+1）=0，

又 c≠1，故c=-1[]2.

集合是考查同學們學習能力與學習潛力的很好的命題素材，它不僅是中學數學的基礎，同時也是支撐代數大廈的基石.由于集合的確定性、互異性、無序性使集合形成了一套嚴密的邏輯系統，因此要學好集合，必須對集合的三大特性有深刻透徹的理解.以上只是本人對集合特性的一點教學心得，供高一初學集合的學生參考.