淺議數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

王寧嵐

【摘要】本文根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合高考題，淺談求數(shù)列題的常用策略：化歸轉(zhuǎn)化策略，數(shù)列問題常可化歸為等差（等比）數(shù)列或化歸為我們熟悉的數(shù)列問題去求解，就數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種初等求法作一總結(jié).

【關(guān)鍵詞】通項(xiàng)公式；遞推公式；求法

一、公式法

例1 數(shù)列{a璶}為等差數(shù)列，a璶為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為S璶，數(shù)列{b璶}為等比數(shù)列，且a1=3，b1=1，數(shù)列{b璦璶}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2=64.求a璶，b璶.

解 設(shè){a璶}的公差為d，{b璶}的公比為q，則d為正整數(shù)，

a璶=3+（n-1）d，b璶=q琻-1.

依題意有b璦璶+1[]b璦璶=q3+nd[]q3+（n-1）d=q琩=64=26，

S2b2=（6+d）q=64.

①

由（6+d）q=64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1，2，3，6之一.

解①得d=2，q=8.故a璶=3+2（n-1）=2n+1，b璶=8琻-1.

評注 這類問題的遞推式為a璶+1=a璶+d及a璶+1=aqa璶（d，q為常數(shù)）時(shí)，可直接轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列從而用公式求解.

二、已知數(shù)列前n項(xiàng)和S璶求通項(xiàng)a璶

例2 設(shè)數(shù)列{a璶}的前n項(xiàng)和為S璶，已知a1=a，a璶+1=S璶+3琻，n∈N*.設(shè)b璶=S璶-3琻.求數(shù)列{b璶}的通項(xiàng)公式.

解 依題意，S璶-1-S璶=a璶+1=S璶+3琻，即S璶+1=2S璶+3琻，

由此得S璶+1-3琻+1=2（S璶-3琻）.

因此，所求通項(xiàng)公式為b璶=S璶-3琻=（a-3）2琻-1，n∈N*.

評注 這類問題往往能從題目中得到數(shù)列的前n項(xiàng)和S璶和通項(xiàng)a璶的關(guān)系式，通常

利用公式a璶=S1， （n=1）

S璶-S璶-1，（n≥2）求通項(xiàng).用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即將a1和a璶合為一個(gè)表達(dá)式.

三、疊加法或疊乘法

類型1 若數(shù)列{a璶}，通項(xiàng)公式滿足遞推公式：a璶+1=a璶+f（n），f（n）為可求的和.a璶=a璶-a璶-1+a璶-1-a璶-2+…+a2-a1+a1=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a1.

類型2 若數(shù)列{a璶}，通項(xiàng)公式滿足遞推公式：a璶+1=a璶·f（n），f（n）為可求的積.a璶=a璶[]a璶-1·a璶-1[]a璶-2·…·a3[]a2·a2[]a1=f（n-1）f（n-2）·…·f（1）a1.

例3 在數(shù)列{a璶}中，a1=1，a2=2，且a璶+1=（1+q）a璶-qa璶-1，（n≥2，q≠0）.

（Ⅰ）設(shè)b璶=a璶+1-a璶（n∈N*），證明{b璶}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{a璶}的通項(xiàng)公式.

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

a2-a1=1，

a3-a2=q，

……

a璶-a璶-1=q2，（n≥2）.

將以上各式相加，得a璶-a1=1+q+…+q琻-2，（n≥2）.

所以當(dāng)n≥2時(shí)，a璶=

1+1-q琻-1[]1-q，q≠1，

n，q=1.

上式對n=1顯然成立.故通項(xiàng)為

a璶=1+1-q琻-1[]1-q，q≠1，

n，q=1.

評注 一般地，對于形如a璶+1=a璶+f（n）類的通項(xiàng)公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解，稱之為疊加法.

另外，對于形如a璶+1=f（n）·a璶類的通項(xiàng)公式，當(dāng)f（1）·f（2）·…·f（n）的值可以求得時(shí)，宜采用此方法，稱之為疊乘法.

例如：已知數(shù)列{a璶}滿足a1=1，S璶=（n+1）a璶[]2，（n∈N），求{a璶}的通項(xiàng)公式.

析 ∵2S璶=（n+1）a璶，（n∈N），2S璶-1=na璶-1，（n≥2，n∈N），

兩式相減得2a璶=（n+1）a璶-na璶-1，∴a璶[]a璶-1=n[]n-1，（n≥2，n∈N）.

于是有a2[]a1=2[]1，a3[]a2=3[]2，a4[]a3=4[]3，…，a璶[]a璶-1=n[]n-1，（n≥2，n∈N）.

以上各式相乘，得a璶=na1=n，（n≥2，n∈N），又a1=1，∴a璶=n，（n∈N+）.

四、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列

若數(shù)列{a璶}，通項(xiàng)公式滿足遞推公式：a璶+1=pa璶+q，p，q為常數(shù)，p=1時(shí)為等差，q=0時(shí)為等比.當(dāng)p≠1，q≠0時(shí)，有以下兩種構(gòu)造形式：

構(gòu)造1 由等式的兩邊除以p琻+1可得：a璶+1[]p琻+1=a璶[]p琻+q[]p琻+1，轉(zhuǎn)化類型1，可求其通式.

構(gòu)造2 設(shè)存在α，使得a璶+1+α=p（a璶+α），解得α=q[]p-1，即 a璶+1+q[]p-1=pa璶+q[]p-1，則a璶+q[]p-1以a1+q[]p-1為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列，可求其通式.

求數(shù)列通項(xiàng)是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考中的一個(gè)重點(diǎn).由于求通項(xiàng)公式時(shí)滲

透了大量的數(shù)學(xué)思想方法，如邏輯方法中的歸納與演繹，類比、分析與綜合，非邏輯方法中的反思維定式等，因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng).本文力圖通過歸納，引導(dǎo)讀者不僅關(guān)注一類題的解法（通法），也要在歸納中反思數(shù)學(xué)思想方法，從而讓數(shù)學(xué)思想方法能更廣泛、深入地運(yùn)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李盤喜.高中數(shù)學(xué)解題題典.長春：東北師范大學(xué)出版社，2001.

[2]牛德勝.中學(xué)數(shù)學(xué)1+1.南方出版社，2003.