對一道高考題的解法探究

陳學進

原題 （江蘇省2010年高考數學14題）將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=（梯形的周長）2[]梯形的面積，則S的最小值是.

分析 如圖，正三角形ABC的邊長為1，平行于底邊的直線DE將三角形分成正三角形ADE和等腰梯形DECB兩個部分.

設AD=x，則

S=（梯形的周長）2[]梯形的面積=4[]3·（3-x）2[]（1-x2），（0

因此，要求S的最小值，關鍵是求函數y=（3-x）2[]1-x2，（0

思路一 利用求函數值域的基本方法.

解法1 y=（3-x）2[]1-x2，去分母整理得（y+1）x2-6x+9-y=0，關于x的方程有解.

所以，Δ=（-6）2-4（y+1）（9-y）≥0，y2-8y≥0.

所以，y≥8或y≤0（舍去），即y=（3-x）2[]1-x2的最小值為8，此時x=1[]3.

解法2 令3-x=t，t∈（2，3），換元，x=3-t.

y=t2[]1-（3-t）2=t2[]-8+6t-t2=1[]-8[]t2+6[]t-1，當1[]t=8，即x=1[]3時，y取最小值8.

解法3 求導數y′=-2（3-x）（1-x2）+2x（3-x）2[]（1-x2）2=3（3-x）（3x-1）[]（1-x2）2.

令y′=0，則x=1[]3，且當x∈0，1[]3時，y′<0，當x∈1[]3，1時，y′>0，所以，當x=1[]3時，y取得最小值8.

思路二 從基本不等式求最值出發.

解法4 y=（3-x）2[]1-x2=x2-6x+9[]1-x2=（x2-1）-6x+10[]1-x2=-1-2（3x-5）[]1-x2.

設5-3x=t，則t∈（2，5），x=5-t[]3，于是y=-1+18t[]-16+10t-t2，

y=-1+18t[]t2-10t+16=-1+18[]10-t+16[]t，從而當t=4，即x=1[]3時，y取最小值8.

解法5 y=（3-x）2[]1-x2=3-x[]1+x·3-x[]1-x=-1+4[]1+x·1+2[]1-x.

令a=1[]1+x，b=1[]1-x，由條件知a，b∈R+，且1[]a+1[]b=2，2ab=a+b.

y=（-1+4a）（2b+1）=2b+8a-1=（b+4a）·1[]a+1[]b-1=b[]a+4a[]b+4≥8，

當且僅當b[]a=2，x=1[]3時，y取得最小值8.

解法6 y=（3-x）2[]1-x2=3-x[]1+x·3-x[]1-x.令a=3-x[]1+x，b=3-x[]1-x，則2[]a+1[]b=1，

于是1≥22[]ab，ab≥8，即y=ab的最小值為8，此時2[]a=1[]b=1，x=1[]3.

解法7 y=（3-x）2[]1-x2=（3-x）2[]（1-x）（1+x）.令a=1+x，

b=1-x， x=a-b[]2，

于是y=3-a-b[]22[]ab=a2+4b2+4ab[]ab≥4ab+4ab[]ab=8，當且僅當a=2b，即

x=1[]3時，取得該最小值.

思路三 變換特征三角轉換.

要求函數y=（3-x）2[]1-x2，（0

解法8 y=3-x[]1-x2=3-sinα[]cosα，去分母得ycosα=3-sinα，sinα+ycosα=3，

y2+1sin（α+θ）=3，于是有3[]y2+1≤1，解得y≥22，

所以y的最小值為22.

解法9 設x=cosα，x∈0，π[]2 ，y=3-x[]1-x2=3-cosα[]sinα=4tan2α[]2+2[]2tanα[]2=2tanα[]2+1[]tanα[]2≥22，當且僅當tan2α[]2=1[]2，x=cosα=1[]3時，取最小值22.

解題反思

1.引進變量，建構函數模型是解決該實際問題的基礎.

2.利用一定的數學思想方法求解函數的最值是必備的基本技能.

3.能夠運用常見的數學思想方法，將問題變形轉化，有助于提高學生對數學問題的解決能力和整合數學知識和方法在頭腦中的整體建構.