函數解析式常用求解方法

葛劍

【摘要】求解函數解析式是高考重點考查內容之一，需引起重視.函數的解析式是用等式來表示兩個變量之間函數關系的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域，定義域是使式子有意義的x的取值范圍，同時也要注意變量的實際意義.本文主要幫助大家在深刻理解函數概念的基礎上，掌握求解函數解析式的幾種類型及常用方法，培養創新能力和解決問題的能力.

【關鍵詞】解析式；定義域

例1 已知函數f（x+1）=x+2x，求f（x）.

解析 本題可以通過整體代換（配湊法）或換元法的方法來解決，令x+1=t（t≥1），解得x=t-1，x=（t-1）2，所以x+2x=（t-1）2+2（t-1），f（t）=（t-1）2+2（t-1），即f（x）=x2-1，一定不要忘記定義域{x|x≥1}.所以f（x）=x2-1，（x≥1）.事實上，已知復合函數f[g（x）]的解析式，求函數f（x）的解析式時，可用換元法來解決，若g（x）的解析式很簡單或和等式右邊解析式形式很相像時，可用整體代換（配湊法）的方法解決，如：已知fx+1[]x=x2+1[]x2，求函數f（x）的解析式，可用整體代換（配湊法）的方法得fx+1[]x=x+1[]x2-2，即f（x）=x2-2，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）.

例2 （1）設f（x）是一次函數，且f[f（x）]=4x+3，求f（x）；

（2）設二次函數f（x）的最大值是13，f（3）=f（-1）=5，求f（x）的解析式.

解析 已知函數的類型（如一次函數、二次函數、反比例函數等），常用待定系數法求函數的解析式.根據函數的類型設出函數的解析式，然后根據條件求出待定系數.從而求得函數解析式.第（1）題可設函數的解析式為f（x）=kx+b，（k≠0），代入已知條件即可求出待定系數k=2，b=1或k=-2，b=-3.從而函數解析式為f（x）=2x+1或f（x）=-2x-3.第（2）題已知函數是二次函數，設法有三種，一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0），交點式f（x）=a（x-x1）（x-x2），（a≠0），頂點式f（x）=a（x-h）2+k，（a≠0），根據具體題目選擇恰當的設法可簡化計算.本題可設函數的解析式為f（x）=a（x-1）2+13，（a≠0），又f（3）=5，代入可求得參數a=-2.從而得函數解析式為f（x）=-2x2+4x+11.

例3 （1）已知函數y=x2+x與y=g（x）的圖像關于點（1，0）對稱，求g（x）的解析式；

（2）設f（x）是偶函數，g（x）是奇函數，且f（x）+g（x）=x2+x+2，求f（x）和g（x）的解析式.

解析 對于第（1）題可作如下思考：函數的解析式表示函數圖像上任一點的坐標（x，y）的x，y間的關系，如果我們能夠建立某一個未知函數圖像上任一點的坐標（x，y）的x，y間的關系，就可以求出函數的解析式了，所以可以用軌跡法求函數的解析式.本題可設出所求函數g（x）圖像上任一點的坐標（x，y），根據題意其關于點（1，0）的對稱點（2-x，-y）在函數y=x2+x上，代入可得函數g（x）圖像上任一點的坐標x，y間的關系式，即函數g（x）的解析式，g（x）=-x2+5x-6.

對于第（2）題可作如下思考：對于有特殊結構的方程（自變量互為倒數、互為相反及函數奇偶性等）求函數的解析式常用構造方程組方法求函數解析式，即抓住等式特征對等式進行賦值，以變量換變量又得到一個方程，聯立得到方程組，通過解方程組求出解析式.本題可根據函數的奇偶性用-x替換方程中的x，可得方程f（x）-g（x）=x2-x+2，此方程與原方程f（x）+g（x）=x2+x+2聯立可得關于f（x）和g（x）的方程組，用解方程組的方法求得f（x）和g（x）的解析式，f（x）=x2+2，g（x）=x.

變式 若f（x）=f（-x）x+10，求f（10）.

解析 令x=10，得f（10）=f（-10）×10+10；令x=-10，得f（-10）=f（10）×（-10）+10，聯立方程消去f（-10），得f（10）=110[]101.

小結：

求解函數解析式的幾種類型及常用方法有：換元法、整體代換（配湊法）、待定系數法、構造方程組等，特別值得強調的是求解函數的解析式一定要注明函數的定義域（定義域是R的除外），函數的定義域是函數解析式的一部分.

如果已知復合函數f[g（x）]的表達式求f（x）時，可用換元法，這時要特別注意新元的取值范圍.如：已知f（1-cosx）=sin2x，求f（x）.用換元法求得f（x）=-x2+2x，注意定義域為[0，2].當已知表達式較簡單時，也可用配湊法.若已知函數解析式的類型時，可用待定系數法.已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f（x），另外注意軌跡法在求對稱曲線解析式中的運用.