用配方法解題提升初中數學思維

黃曉明

《數學課程標準》提出，數學學習不僅是指具體的數學知識、解題技能和技巧的學習，更是一種思維模式、思想方法的學習.初中數學中比較重要的思想方法有：數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想、類比思想、轉化與化歸思想等.常用的數學方法有：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消元法等.

在數學教材中，數學思想方法滲透其間，并沒有系統的歸納和總結，也沒有充分的講解和討論.在教學中也往往忽略對數學思想方法的教學時機的把握，致使學生對基礎知識的學習僅限于理解概念，記住公式、定理，模仿性解題這些淺層次水平上.而對怎樣挖掘基礎知識中的數學思想方法，如何自覺地滲透數學思想方法的教學，如何堅持不懈地培養學生數學思想方法的應用意識是一項長期的、艱巨的系統工程.

把一個式子化成完全平方式（立方）或者含完全平方（立方）的式子叫作配方.通過配方解題的方法就叫配方法，配方法是式子恒等變形的重要手段之一，它在中學數學中應用非常廣泛，是解決數學問題的一種很基本、很重要的數學方法.

配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡.何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“拆項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方.有時也將其稱為“湊配法”.

配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab.

最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方.它主要適用于因式分解、二次根式化簡、二次方程或二次函數的討論與求解等問題.

一、利用配方法可以分組分解多項式

例1 因式分解：a2b2-a2+4ab-b2+1.

分析 在代數式中，利用拆項的方法，給原多項式配上適當的部分，使拆項后的多項式的一部分成為一個完全平方式.

解 a2b2-a2+4ab-b2+1

=a2b2+2ab+1+（-a2+2ab-b2）（拆項，分組）

=（ab+1）2-（a-b）2（配方）

=（ab+1+a-b）（ab+1-a+b）（平方差公式分解）

評析 本題的關鍵是用拆項，分組，樹立配方的思想.必須熟練掌握公式a2±2ab+b2，判斷什么是：“a”或“b”，或“ab”，怎樣從a2，2ab這兩項去找出b，或從a2，b2這兩項去找出2ab，或從2ab去找出a2和b2.熟練掌握這些基本方法，從而做到心中有數，配方有路可循.

二、在二次根式的化簡計算中巧妙運用配方的思想，通過配方進行化簡計算，可收到意想不到的效果

例2 化簡根式10-221+4+23.

分析 二次根式化簡常用公式：a2=|a|，這就需要把被開方數寫成完全平方式.

解 用配方法得

原式=7-27·3+3+3+23·1+1

=（7-3）2+（3+1）2

=7-3+3+1=1+7.

三、經過配方后的式顯現出“非負數之和=0”的形式，這時應立即判斷每個非負數=0

例3 求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x，y.

分析 本題這類方程的解是運用幾個非負數的和等于零，則每一個非負數都是零，有時就需要配方.

解 由原方程得x2+y2+2x-4y+1+4=0，

配方可化為（x+1）2+（y-2）2=0.

要使等式成立，必須且只需x+1=0，

y-2=0.

解得x=-1，

y=2.

四、配方法在處理二次方程問題和拋物線問題方面發揮重要作用

例4 解方程x2+6x-16=0.

分析 顯然，這個方程不能直接用開平方法解，那能否把這個方程化成可用開平方法來解的形式，即（x+a）2=b的形式？

我們可以這樣變形：

把常數項移到右邊，得x2+6x=16.

對等號左邊進行配方，即兩邊都加上9即6[]22得

x2+6x+9=16+9，（x+3）2=25.

評析 方程的一邊為二次項和一次項，另一邊為常數項，得配方，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，即兩邊都加上9即6[]22得x2+6x+9=16+9，這樣就把原方程化為與上面方程一樣的形式了.像這種類型題先對原一元二次方程配方，使它出現完全平方式后（即化為（x+a）2=b，b≥0的形式），再用開平方來解.

解決數學問題的根本方法就是“化難為易，化繁為簡”，把未知的問題轉化成熟悉的數學形式，然后用已有的知識經驗把問題解決.

當然，加強初中數學思想方法的滲透，并不是靠對幾個范例的分析就能解決的，而要靠在整個教學過程中站在方法論的高度講出學生在課本里的字里行間看不出的奇珍異寶.

數學思想方法之一配方法是處理并解決問題的一種手段，是溝通基礎知識與培養能力的橋梁.在數學教學過程中逐步向學生滲透一些數學思想，可以促使學生形成良好的認知結構，達到提高學生洞察事物、尋求聯系、解決問題的思維品質和數學能力的目的.

總之，數學教學中能有意識地滲透數學思想方法，有利于學生的思維形式由直觀的形象思維向抽象的邏輯思維轉化，有利于培養學生良好的思維品質、創新意識，從而逐步形成良好的數學觀念.