例談轉化與化歸思想的轉化途徑和方法

夏文宏

轉化與化歸是研究問題的一種手段，可以說貫穿著整個數學的學習，比如我們經常討論的函數、方程與不等式之間的相互轉化，都是轉化與化歸思想的體現.轉化與化歸的核心是將問題通過變換使之能利用已有的知識解決或快速解決，可以說轉化與化歸是數學思想方法的靈魂.這里與大家探討轉化與化歸思想中常見的幾種轉化途徑和方法.

1.特殊與一般的相互轉化

由于一般性中隱含著特殊性，因而對于一定條件下任何值都成立的命題可利用其特殊性來求解.常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.

（1）特殊值

例1 若x∈（e-1，1），a=lnx，b=2lnx，c=（lnx）2，則（）.

A.a

C.b

解析 令x=e-1[]2∈（e-1，1），則a=-1[]2，b=-1，c=-1[]8，故b

（2）特殊函數

例2 定義在R上的奇函數f（x）為減函數，設a+b≤0，給出下列不等式：

①f（a）·f（-a）≤0，②f（b）·f（-b）≥0，

③f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），

④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），其中正確的序號是（）.

A.①②④B.①④

C.②④D.①③

解析 取f（x）=-x符合題意，逐項驗證可知①④正確，故選B項.

（3）特殊數列

例3 已知等比數列{a璶}中，a璶>0，且a5·a6=81，則log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（）.

A.20B.10

C.5D.40

解析 取滿足題意的特殊數列{a璶}，a璶=9，原式=log3910=20，故選A項.

（4）特殊方程

例4 如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，那么這個橢圓的離心率為（）.

A.5[]4B.3[]2

C.2[]2D.1[]2

解析 可用特殊方程來考察.取橢圓方程為x2[]4+y2=1，則離心率e=3[]2.故選B項.

方法總結 對于一定條件下任何值都成立的命題可利用其特殊性來求解，應熟悉以上常用的特殊與一般問題的轉化方法，這樣可以提高解題速度.

2.主元與次元的相互轉化

在處理多變元的數學問題時，可以選取其中的任一變量為主元變量稱其為“主元”，其他量為次變量，稱其為“次元”，分清“主元”與“次元”可以減少變元，簡化運算，為解題帶來方便.

例5 已知曲線系C璳的方程為x2[]9-k+y2[]4-k=1，試證明坐標平面內任一點（a，b）（a，b≠0）在C璳中總存在一橢圓和一雙曲線通過該點.

轉化途徑 此題有三個變量，若從曲線系的角度去考慮，以x，y為主元，則思維將受阻，若以k為主元，則容易看出，當k<4或4

解 假設點（a，b）（a，b≠0）在曲線C璳上，則a2[]9-k+b2[]4-k=1，整理得k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0.

令f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2），所以f（4）=-5b2<0，f（9）=5a2>0.

又函數f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）的圖像開口向上，從而方程k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0在（-∞，4）和（4，9）內分別有一根，即對平面內任一點（a，b）（a，b≠0）在曲線系C璳中總存在一橢圓和一雙曲線通過該點.

方法總結 將解析幾何中的曲線系問題轉化為視參變量為主元的方程的根的問題，降低了難度，解法簡練.

3.相等與不等的相互轉化

相等與不等是兩個不同的概念，在某種情況下可以相互轉化，這種轉化能使問題變得十分簡單.

例6 設三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a

轉化途徑 由題意得關于a，b，c的兩個等量的關系式子，通過二次方程的判別式、放縮法、根的分布等手段得到不等關系.

證明 [HT]f′（x）=3ax2+2bx+c，由題意，得f′（1）=3a+2b+c=0.①

f′（m）=3am2+2bm+c=-3a.②

因為a

得3am2+2bm-2b=0，所以Δ=4b2+24ab≥0，得b[]a2+6b[]a≥0，解得b[]a≤-6或b[]a≥0.③

將c=-3a-2b代入a

方法總結 等與不等是一對矛盾，在一定條件下可以相互轉化，在等與不等的轉化中，不等式與函數的性質常常起著重要的作用，是一條重要的紐帶這，也是一個重要的化歸模式.

4.空間與平面的相互轉化

空間圖像問題有些時候比較抽象，空間概念難以建立，給解題帶來不便，并且在高考中直接給考生帶來不利影響，但是有些時候將其轉化到平面幾何或類比平面上利用相關知識來處理，則顯得輕而易舉.

例7 如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一動點，則線段CP+PA1的最小值為.

圖 1圖 2

轉化途徑 空間圖形中線段和的最值問題應將其轉化到同一平面上來解，因而要將CP或PA1所在的平面旋轉到同一平面上研究.

解 連接A1B，將△CBC1沿著BC1旋轉到與△A1BC1同一平面上，如圖2，連接A1C，則A1C與BC1的交點就為動點P，此時A1C的長度就是所求的最小值.由條件可知：BC1=2，A1B1=38，A1B=210，從而在△A1BC1中可得∠A1C1B=90°，又∠BC1C=45°，所以在圖2的△A1CC1中，∠A1C1C=135°，由余弦定理可求得A1C=52，則CP+PA1的最小值為52.

方法總結 將空間圖形中所求的部分轉化到平面上來研究是優化解題方法的技巧，可以使問題清晰明了，對本題型用此方法求解是較好的方法.

總之：復雜的數學問題都是由簡單的問題復合而成，或通過適當的演化而成的.只要我們能將復雜的問題轉化為簡單的問題，我們就能解決相對復雜的問題.