聯想證明不等式

洛桑扎西

【摘要】本文根據一些不等式的結構特征，從多個維度列舉了證明不等式的新技巧、新方法.

【關鍵詞】不等式；證明；結構特征

1.聯想函數

例1 設a1，a2，…，a璶都是正數，證明對任意正整數n，不等式（a1+a2+…+a璶）2≤n（a21+a22+…+a2璶）均成立.

證明 原不等式即為4（a1+a2+…+a璶）2-4n（a21+a22+…+a2璶）≤0，由此結構聯想到一元二次函數根的判別式而構造函數f（x）=（a21+a22+…+a2璶）x2+2（a1+a2+…+a璶）x+n.

因為f（x）=（a1x+1）2+（a2x+1）2+…+（a璶x+1）2≥0，

且二次項系數a21+a22+…+a2璶>0，故

Δ=4（a1+a2+…+a璶）2-4n（a21+a22+…+a2璶）≤0，

即（a1+a2+…+a璶）2≤n（a21+a22+…+a2璶）.對任意正整數n均成立.

點評 本題證法不少，但都較繁，我們通過觀察問題結構聯想到函數，利用二次函數圖像與判別式的關系，使證明簡潔流暢.

2.聯想方程

例2 已知2b-2c=a，求證：b2≥4ac.

證明 由b2≥4ac聯想到一元二次方程有實根，而已知條件可化為：

a-2[]22+b-2[]2+c=0，a-2[]22+b-2[]2+c=0有實根-2[]2，

于是b2-4ac≥0，即b2≥4ac.

點評 本題常規證法雖不難，但通過聯想方程有解，達到證題目的，這對培養學生的創造力大有益處.

3.聯想三角

例3 已知a，b，c為三角形的三邊，且a2+b2+c2=0，n∈N*且n>2.求證：c琻>a琻+b琻.

證明 由a>0，b>0，c>0，a2+b2=c2得a[]c2+b[]c2=1，可聯想到三角中sin2α+cos2α=1，故設a[]c=cosα，b[]c=sinα，0<α<π[]2，則有a[]c琻+b[]c琻=cos琻α+sin琻α

故a琻+b琻

點評 從結論變形a[]c琻+b[]c琻<1聯想到指數函數，進一步利用函數單調性，也可使問題順利解決.

4.聯想距離

例4 x∈R，證明：x4-3x2-6x+13-x4-x2+1≤10.

證明 見到根號，聯到距離公式，將左邊變形為y=x-3）2+（x2-2）-x2+（x2-1）2，則y可看成動點P（x，x2）（它在拋物線y=x2上運動）與定點A（3，2），B（0，1）的距離之差，即y=|PA|-|PB|.

由它的幾何意義，有y≤|AB|=10，顯然當P點為AB的延長線與拋物線的交點時，y取到最大值.

點評 聯想距離，將距離的和或差結合幾何圖形進行合理轉化，這種思想方法在求解值域及最值問題中經常用到.

5.聯想斜率

例5 求證：-2[]4≤sinx[]cosx-3≤2[]4.

證明 式子sinx[]cosx-3變形為0-sinx[]3-cosx，可聯想到直線斜率，其意義為：點A（3，0）與點M（cosx，sinx）的連線斜率，而M點的軌跡是圓x2+y2=1.當直線AM與圓相切時，斜率取到最大值2[]4或最小值-2[]4.故-2[]4≤sinx[]cosx-3≤2[]4.

點評 本題也可用三角函數的有界性解答，但聯想斜率往往可使解答過程簡潔直觀.

6.聯想曲線

例6 求證：-4[]3≤4-9x2-2x≤213[]3.

證明 由4-9x2的結構特點，聯想到橢圓方程.令y=4-9x2（y≥0），則其圖像是x2[]4[]9+y2[]4=1的上半部分.

再設y-2x=m，因為m為直線y=2x+m在y軸上的截距，于是問題轉化為過橢圓上半部分的點且y斜率為2的直線在y軸上的截距的最值.顯然，當直線y=2x+m過點2[]3，0時，

m有最小值m=-4[]3；當直線y=2x+m與橢圓上半部分相切時，m有最大值.

由y=2x+m，

9x2+y2=4，

得13x2+4mx+m2-4=0.

令Δ=4（52-9m2）=0，得

m=213[]3，或m=-213[]3（舍）.

∴-4[]3≤4-9x2≤213[]3.

點評 聯想圓錐曲線，結合線性規劃的思想，將問題轉化為直線截距的最值，是解此問題的有效途徑.

7.聯想幾何體

例7 已知銳角α，β，γ，滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1.求證：tanαtanβtanγ≥22.

證明 由cos2α+cos2β+cos2γ=1聯想到長方體的對角線與過同一頂點的三條棱的夾角滿足該關系式，則可構造長方體，使三棱長分別為a，b，c，對角線與這三條棱所成的角分別為α，β，γ，于是有

tanα=b2+c2[]a，tanβ=c2+a2[]b，tanγ=a2+b2[]c，

所以tanαtanβtanγ≥2bc[]a·2ca[]b·2ab[]c=22.

點評 熟悉長方體對角線的有關性質是合理聯想的前提，在立體幾何中，經常需要把角、線段等移植到幾何體中，通過對幾何體的直觀分析，使問題容易獲得解決.