不容忽視的“定義域”

成兵

【摘要】定義域是函數的三要素之一，在解題中稍對函數“定義域”考慮不周、忽視、理解不清，都將導致錯誤，本文就針對學生出現的常見錯誤進行分析研究.

【關鍵詞】定義域

函數的定義域對于函數而言是一個不容忽視的“永恒”的話題，它是函數的不可缺少的組成部分.研究函數的性質必須從定義域出發，特別是在解決方程、不等式等問題方面起著重要作用.由于函數本身的抽象性，使得許多同學在解題中常會忽視定義域出現一些錯誤.

一、等號“=”的取舍

例1 當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（1，2]

D.0，1[]2

錯解 設f（x）=（x-1）2，g（x）=log璦x，要使當x∈（1，2）時，不等式（x-1）21時，如圖，只需f（2）

剖析 因為x≠2，g（x）的圖像可以經過點（2，1），所以1

二、概念不清導致的錯誤

例2 已知f（x）=x2-1，g（x）=x-1，（x>0），

2-x，（x<0），求g[f（x）]的解析式.

錯解 由題意，采用代入法，g[f（x）]=x2-2，（x>0），

3-x3，（x<0）.

剖析 對函數的概念缺乏理解，此時g（x）中的“x”與“f（x）”的范圍必須是一致時，才滿足g（x）的定義域，

正解 ①當f（x）<0時，即x2-1<0，所以-1

②當f（x）>0時，即x2-1>0，所以x>1或x<-1，所以g[f（x）]=x2-2.

綜上：g[f（x）]=x2-2，（x>1或x<-1），

3-x3，（-1

三、方法不當導致的錯誤

例3 求函數y=-x2-3[]x-1在x∈（1，2]的最大值.

錯解 由題意得yx-y=-x2-3，所以x2+yx+3-y=0.因為x∈（1，2]，

所以方程有解.所以Δ=y2-4（3-y）≥0，

得y≥2或y≤-6.

又因為x∈（1，2]時，y<0，

所以y≥2（舍去），所以y≤-6.所以y璵ax=-6.

剖析 本題忽略了驗證“=”成立的條件，當y=6時，x=3，而3（1，2].

正解 y=-x2-3[]x-1=-（x-1）+4[]x-1-2.

令t=x-1∈（0，1]，易證t+4[]t在（0，1]為減函數，所以y=-t+4[]t-2在（0，1]為增函數，所以當且僅當x=2時，y璵ax=-7.

四、忽視隱含條件導致的錯誤

例4 已知y=x2，求P=x2+（y-a）2的最小值.

錯解 由y=x2知，P=x2+（y-a）2=y+（y-a）2=y2+（1-2a）y+a2.

當y=2a-1[]2時，P取到最小值4a-1[]4.

剖析 上面的解法中正消元的過程中忽視了函數的定義域y≥0.

正解 由y=x2知，P=x2+（y-a）2=y+（y-a）2=y2+（1-2a）y+a2.

①若1-2a≥0，即a≤1[]2時，當y=0時，P取到最小值a2.

②若1-2a<0，即a>1[]2時，當y=2a-1[]2時，P取到最小值4a-1[]4.