淺析辯證思想在解決數學問題中的運用

湯潔

在數學學習中，有時學生們會為解決一個問題而手足無措，會為一個方程的解法、一個角的取值或者一個變量的大小而困惑.這些問題表面上可能被認為是計算能力的欠缺，但實質是一種數學思維的缺失，是一種解題思維的不完善.

在數學思維的培養和形成的過程中，辯證法思想的運用是關鍵所在，辯證法所運用的思維模式對建立數學思維和數學答題模式具有導向作用.甚至可以說，是否有辯證思維的意識決定著數學學習的成敗.淺析如下：

一、分清整體和局部，用普遍聯系的觀點看待和解決數學問題

高中數學體系是由多個模塊構成的，每個模塊都是一個小的知識體系.通常了解一個小知識體系并不是非常困難.但是，如果要真正掌握這個模塊的知識就需要與其他模塊的知識相聯系.比如，三角函數與圓錐曲線、函數與不等式等，都是不同知識體系之間的相互聯系.而這種聯系就是在解題過程中學生經常感到困惑的環節.

以2009年新課標全國卷（文）12為例：用min{a，b，c}表示a，b，c三個數中的最小值.設f（x）=min{2瑇，x+2，10-x}（x≥0），則f（x）的最大值為（）.

A.4B.5C.6D.7

在這道題中，包含著最值、分段函數、指數函數、函數圖像等知識點，也只有運用聯系的觀點，將幾部分知識串起來，數形結合，在坐標系中作出三個函數的圖像，再分段選取最小值，再在最小值中選出符合題意的最大值，進而求解.

以普遍聯系的觀點為基礎，對數學模塊之間的聯系進行具體地分析，引導學生分清整體和局部，對解題的成功起著決定性的作用.在解決問題的過程中，要承認因果聯系的普遍性和客觀性，正確把握數學模塊之間和模塊中的因果聯系.引導學生運用整體和部分相互關系的原理，在學習數學和解決數學問題時要樹立整體觀念和全局思想，從整體著眼，尋求最佳解題途徑；搞好局部，使整體功能得到最大的發揮.

二、運用發展的思想來引導學生深化學習效果，解決復雜問題

每個模塊的學習多是由淺入深，由易入難，在學習中，往往會遇到“瓶頸期”的問題，這是在學習時由質變到量變的關鍵環節，常常有的學生的分數一直懸在不高不低的位置，與尖子生有不小差距，但又高于普通學生，而他們所處的位置就是在突破“瓶頸期”的位置，有時在解決問題時，這種學生往往只差一步或者兩步，往往這一兩步是“瓶頸期”前后的體現，在瓶頸期前，可能會對某些問題已經較為清晰，但在“瓶頸期”會一知半解，而數學學習就是一種從了解到認識，從認識到遺忘，從遺忘到掌握的螺旋式上升的過程，而并非是直線上升.

以2010年新課標全國卷（文）12為例：已知函數f（x）=|lgx|，0

-1[]2x+6，x>10，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（）.

A.（1，10）B.（5，6）

C.（10，12）D.（20，24）

該題以分段函數為背景，屬于分段函數中較新穎題目，但卻是以一道常見題為基礎改編的.原題是：

①已知函數f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），則a和b的關系為ab=1.

題①的解法為：分段討論去掉絕對值后，由對數函數的單調性，可知a和b必為一個大于1，另一個在0和1之間，故得lga=-lgb，從而得解.而以①為基礎改編的高考題，用發展的思想來看，是在原題的基礎上將函數變為三段，且增加了一個變量.將a，b還看作原題中的a和b，即可得ab=1.再數形結合得出f（c）的范圍，進而得c的范圍即得解.

在解決數學問題時要引導學生運用運動、變化、發展的眼光看問題，而不是拘泥于眼前所出現的知識點.

三、運用矛盾的觀點，對立統一中把握數學

有些學生往往在出錯后會說大意失荊州，也就是在細節上出錯.這些看似細小的問題，卻很影響做題的結果和思維品質的形成.有些學生在解題時只記成題而忽略本質的概念，或者記概念而不知概念因何而來.而在高考這種選拔性考試中，試題往往與成題相異，甚至是背道而馳，但卻始終圍繞著核心的概念.在這類考試中往往“知甚解”的學生有很大的優勢.這就說明，不論是核心知識還是細節問題都是非常重要的，而矛盾分析法的運用可以解決此類問題.

以2010年新課標全國卷（文）16為例：在△ABC中，D為BC邊上一點，BC=3BD，AD=2，∠ADB=135°.若AC=2AB，則BD=2+5.

這道題主要考查三角函數、解三角形的知識.此題計算量較大，而且邊角關系較為復雜，需要步步為營，在解題過程中注意提取關鍵信息，抓住求BD的關鍵邊角，進而運用正余弦公式得出BD長度，求出答項.

在學習數學時要引導學生牢記知識點并弄清知識的本來面目，堅持一分為二的矛盾分析方法.既把握核心知識又要兼顧細節問題.并且在解題中要敢于承認矛盾、揭露矛盾，善于分析矛盾；堅持兩分法，一分為二地看問題，防止片面性.不能有成題思想和固定不變的解題模式，反對“一刀切”.運用矛盾分析法把握整體數學.

學習數學和解決數學問題時融入辯證思想，將思維與實踐相結合，總結出解題規律和解題思想，在思維上占得解題先機，在解題時運用矛盾分析法規范步驟和邏輯，用哲學方法論指導數學學習和實踐，才能使數學學習有章有法.