不同結果是怎樣產生的

楊云顯

一、問題緣起

最近在引導學生應用數列性質解決問題的過程中涉及一道題的兩種不同解法，感覺非常有道理有依據的兩種思路方法在針對同一題目的解答中卻產生了截然不同的結果，究竟錯在哪里？錯因是什么？怎樣糾正？問題探究和解決的過程，看似曲折，卻始終讓人興趣盎然，使師生在應用和實踐中更加深了對數列知識的正確理解，促進了學生綜合分析能力和應用能力的提高.

這個數列問題敘述如下：

設{a璶}，{b璶}均為等差數列，S璶，T璶分別為{a璶}，{b璶}的前n項和，且S璶T璶=7n+2n+3，試求a7b7的值.

這是一道考查數列公式和性質的經典題，大多數人習慣于使用以下第一種思路來解決.

先來看第一種方法思路的依據和證明：

等差數列性質1：m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q，則a璵+a璶=a璸+a璹；

特別地，如果2m=p+q，則2a璵=a璸+a璹.（證明略）

等差數列性質2：若{a璶}，{b璶}均為等差數列，S璶，T璶分別為{a璶}，{b璶}的前n項和，則

a璶b璶=S2n-1T2n-1（n∈N*）.

性質2證明：ⅰ）若n=1，則a1b1=S1T1，顯然成立；

ⅱ）當n≥2，n∈N*時，由性質1，2a璶=a1+a2n-1，2b璶=b1+b2n-1，所以

a璶b璶=2a璶2b璶=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12a1+a2n-12n-12（b1+b2n-1）①， 因為等差數列前n項和公式為S璶=n（a1+a璶）2，所以

①式變為：a璶b璶=2n-12a1+a2n-12n-12b1+b2n-1=S2n-1T2n-1.

性質2的結論，當n為奇數時的證明，也可以采用將“S璶=na中” 這一等差數列和的性質逆向應用到上面比例式而得到結論的方法.

直接應用性質2就是解決上面例題的第一種方法思路：

因為S璶，T璶分別為等差數列{a璶}，{b璶}的前n項和，又S璶T璶=7n+2n+3，

所以a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316.

再來看第二種方法思路的依據：

數列的基本性質：若S璶為數列{a璶}的前n項和，則a璶=S1，（n=1），S璶-S璶-1，（n≥2，n∈N*）.

根據上面數列的基本性質，可得到解決例題的方法思路2：

由基本性質a7=S7-S6，b7=T7-T6，

因為S璶T璶=7n+2n+3，設S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數），

則a7b7=S7-S6T7-T6=51k-44k10k-9k=7.

使用第一種思路方法得到a7b7=9316，使用第二種思路方法得到a7b7=7.

使用兩種不同的方法解答卻產生了不同的結果，問題究竟出在哪里？兩種方法使用的依據都是正確的，按理兩種思路方法都能夠順利進行下去并產生正確的結果.分析起來，肯定還是有一種思路方法的運用過程中出現了不易發覺的錯誤！

二、找出“美麗”錯誤，增進問題理解

首先，性質1和性質2是等差數列和的重要性質，是經過嚴格證明成立和認可的.第一種方法是使用性質2代入n=7直接得到結果，即a7b7=S13T13=7×13+213+3=9316，中間沒有其他推理和變形，因此我們可以斷定這種解答的結果是正確的.那就初步斷定第二種思路方法得到的結果肯定是錯誤的！ 弄清錯在何處和錯誤原因是我們希望研究清楚的問題.我們需要對使用第二種思路方法解答的每一步驟進行細致的分析！

對所有數列來說，若S璶為數列a璶的前n項和，則a璶=S1，（n=1），S璶-S璶-1，（n≥2，n∈N*），這個性質也是恒成立的，因此a7=S7-S6，b7=T7-T6的使用不存在任何問題.

這樣，可供反思的環節就落在根據S璶T璶=7n+2n+3，設S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數）這個看似順理成章的步驟上了.在解決有關比例問題的題目中，我們經常把比例式設為上述形式，例如“已知ab=35，求2a-b3a+2b的值”的問題中，我們就是設a=3k，y=5k（k≠0），代入目標式也就可以馬上得到正確結果了.

因此， 由題意條件S璶T璶=7n+2n+3，設S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數）看起來順理成章，剩下后面計算也沒有錯，這個解答似乎也沒有什么問題！但是，在確信方法1正確的基礎上，肯定是第二種的解答出現了問題，但究竟錯在哪一步驟呢？找錯似乎也不是一件簡單的事，其實，本題第二種思路的解答過程中確實犯了一個隱蔽的“美麗”錯誤！

要找出其中的錯誤，我們有必要從等差數列的前n項和的特點說起：

若S璶為等差數列a璶的前n項和，a1為首項，d為公差，則S璶=n（a1+a璶）2=na1+n（n-1）2d.

由S璶=na1+n（n-1）2d，可得S璶=d2n2+a1-d2n，可以看出：S璶是關于變量n的不含常數項的二次函數.當然，也可以證明，S璶是關于變量n的含常數項的二次函數時，a璶不成等差數列（證明略）.

回歸例題，已知S璶，T璶分別為等差數列{a璶}，{b璶}的前n項和，而S璶T璶=7n+2n+3，形式卻是兩個關于變量n的一次函數的比值，因此我們已經可以看出問題了，在第二種方法思路解答過程中，我們根據S璶T璶=7n+2n+3，設S璶=（7n+2）k，T璶=（n+3）k（k為非零常數），得到的兩等差數列的前n項和S璶 ，T璶還是一次函數的形式，根本就不符合等差數列的前n項和的特點，結果出錯也就在所難免了！

三、糾錯使好方法變得完美，讓研究者能力提升

單單找到了方法2致錯的原因，還很不夠，如果把這樣的錯誤再直接歸結為題目給出的信息不直接的話，則就更大錯特錯了，這就會失去很好的鍛煉創新思維的機會，我們還應該找出正確的解決辦法.

若S璶，T璶分別為等差數列{a璶}，{b璶}的前n項和，在S璶T璶=7n+2n+3形式下，能否有滿足題意的S璶和T璶的二次形式存在？答案是肯定的！可以逆向將一次變為二次，使形式符合要求：

在已知S璶T璶的比例中，S璶=na1+n-12d1，T璶=nb1+n-12d2，可以看出，得到S璶T璶=7n+2n+3，比例是由n的二次之比變為一次之比，首先約去了變量n，又常數a1，d1以及b1，d2也可能出現相同的常數公約數，因此我們可以認為：分子分母約去了一個關于n的正比例系數kn（k為非零常數），這樣可以設S璶=（7n+2）kn，T璶=（n+3）kn（k為非零常數），仍然使用上面的思路方法2來解決上面的例題.

a7=S7-S6=（7×7+2）·7k-（7×6+2）·6k=93k，

b7=T7-T6=（7+3）·7k-（6+3）·6k=16k，

所以a7b7=S7-S6T7-T6=93k16k=9316.

這樣就得到和依據思路方法1相同的結果了. 因此，開始得到不同結果，既不是思路方法的問題，也不是題目自身的問題，還是解題過程我們不顧條件盲目套用公式導致矛盾的問題.