一道中考函數應用題的錯解及分析

賁知云

【摘要】根據一道中考函數題的錯解和分析，讓教師要有意識地引導學生關注生活，重視數學與生活實際的聯系，幫助學生深入理解實際問題中的數學本質，那么學生也就能夠走出對題意理解上的誤區，這就是本文的意義所在.

【關鍵詞】中考函數應用題；錯解；分析

一、題 目

某加油站5月份營銷一種油品的銷售利潤y（萬元）與銷售量x（萬升）之間函數關系的圖像如圖中折線所示，該加油站截止到13日調價時的銷售利潤為4萬元，截止至15日進油時的銷售利潤為5.5萬元.（銷售利潤=（售價-成本價）×銷售量）

請你根據圖像及加油站5月份該油品的所有銷售記錄提供的信息，解答下列問題：

（1）求銷售量x為多少時，銷售利潤為4萬元？

（2）分別求出線段AB與BC所對應的函數關系式；

（3）我們把銷售每升油所獲得的利潤稱為利潤率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤率最大？（直接寫出答案）（2009年江蘇省中考數學試卷第27題）

二、正確的解答過程

解：（1）根據題意得，當銷售利潤為4萬元，銷售量為4÷（5-4）=4（萬升）.

答：當銷售量為4萬升時銷售利潤為4萬元.

（2）點A的坐標為（4，4），從13日到15日的利潤為5.5-4=1.5（萬元）.

（5.5-4）（x-4）=1.5，解得x=5，所以點B的坐標為（5，5.5）.

設線段AB所對應的函數關系式為y=k1x+b1，則4k1+b1=4，

5k1+b1=5.5.

解得k1=1.5，

b1=-2.

所以線段AB所對應的函數關系式為y=1.5x-2（4≤x≤5）.因為5.5+（5.5-4）×（6-5）+（5.5-4.5）×（10-6）=11，所以點C的坐標為（10，11）.

設線段BC所對應的函數關系式為y=k2x+b2，則5k2+b2=5.5，

10k2+b2=11.

解得k1=1.1，b1=0.

所以線段BC所對應的函數關系式為y=1.1x（5≤x≤10）.

（3）AB段的利潤最大.

三、主要錯誤

1.把圖像中點B的縱坐標5.5（萬元）當成了13日當日的銷售利潤.

錯誤過程如下：

（5.5-4）x=5.5，解得x=11[]3，所以B11[]3，5.5，解得線段AB的解析式為y=-9[]2x+22.

2.在正確求出點B的坐標（5，5.5）后，卻因把點C的橫坐標10（萬升）理解錯，從而導致銷售量10萬升時的銷售利潤計算出錯.錯誤過程有3種：

（1）把點C的橫坐標10（萬升）錯誤地理解為由兩部分5+5組成.

錯誤過程如下：

當x=10時，y=5.5+（5.5-4.5）（10-5）=10.5，所以C（10，10.5），解得線段BC的解析式為y=x+0.5.

（2）把點C的橫坐標10（萬升）錯誤地理解為由兩部分6+4組成.

錯誤過程如下：

當x=10時，y=5.5+（5.5-4.5）×4=9.5，所以C（10，9.5），解得線段BC的解析式為y=0.8x+1.5.

（3）把點C的橫坐標10（萬升）錯誤地理解為31日當日的銷售量.

錯誤過程如下：

當x=10時，y=（5.5-4.5）×10=10，所以C（10，10），解得線段BC的解析式為y=0.9x+1.

3.把A，B兩點的縱坐標理解錯，從而導致點C的縱坐標求錯.

錯誤過程如下：

當x=10時，y=4+5.5+（5.5-4.5）（10-5）=14.5，所以C（10，14.5），解得線段BC的解析式為y=1.8x-3.5.此種解法也導致第（3）問答錯.

4.其他錯誤

（1）單位錯誤：①不帶單位，第（1）問答成當銷售量為4時，銷售利潤為4萬元；②不懂單位，不理解：元/升×萬升=萬元；③寫錯單位，如：噸、千克或是元.

（2）把點B，C的橫縱坐標寫反，有的可以看出對題意的理解沒有問題，在求對了點B的橫坐標和點C的縱坐標后，卻把點B，C的橫縱坐標寫反，而導致線段AB，BC的解析式求錯.

四、錯誤本質分析

1.對函數圖像理解的誤區

本題是一道一次函數應用題，學生比較關注圖像信息，在根據點A的縱坐標求到點A的橫坐標后，學生草率地利用同樣的方式求出點B的橫坐標，即用13日當日的銷售單價減去成本價再乘以銷售量得到銷售利潤（如錯誤1）.

學生雖然讀到了13日銷售單價與前面的變化，卻錯誤地把點B的縱坐標理解成了13日當日的銷售利潤，從而導致出錯.這種錯誤非常直接地影響了學生對問題本質的理解，是學生對函數圖像理解上的誤區.其中錯誤2（3）也是同樣的原因導致出錯.

2.信息提取運用能力的薄弱

本題作為應用問題，用到的基本數量關系是：銷售利潤=（售價-成本價）×銷售量，這個基本的數量關系，即使題目條件中不作交代大多數學生也都能夠得出.從學生的解題錯誤來看，主要錯誤還在于對標簽中關于5月份銷售記錄的信息提取時出現了理解上的偏差.庫存的6萬升油中有4萬升在1～13日以5元/升的單價銷售完，有1萬升在14～15日以5.5元/升的單價銷售完，所以到15日時的銷售利潤應由兩部分組成：4+（5.5-4）×1=5.5（萬元）.還有1萬升則在16～31日內售完.到31日時的銷售利潤則應由三部分組成：5.5+（5.5-4）×（6-5）+（5.5-4.5）×（10-6）=11（萬元）.從錯誤可以看出，學生對圖表與文字表述中出現的數據信息提取并運用的能力比較薄弱，從而在解題中出現思維漏洞，導致出錯.

五、教學啟示

1.加強數學與生活實際的聯系

本題出現的主要錯誤還是表現在對題意理解的偏差上，學生在利用一次函數的知識解決這個問題的過程中，出現了知識與生活實際脫節的現象，這可能與學生沒有相關的生活經驗，只是單純地從數學知識的角度來理解有關.教學中，教師要有意識地引導學生關注生活，重視數學與生活實際的聯系，幫助學生深入理解實際問題中的數學本質，那么學生也就能夠走出對題意理解上的誤區.

2.重視培養學生收集處理信息的能力

本題的信息量較大，學生在閱讀過程中雖然提取到了解決問題所要用到的相關數據信息，但是在處理這些數據信息時卻出現了錯誤.教學中，教師要重視培養學生收集處理信息的能力，特別是圖表信息處理的能力，有效提取和運用圖表信息是數學的一項基本素養.重視培養學生學會從表層信息中提取深層信息，學會對已有信息進行加工處理再生成新信息的能力.

六、試題改進建議

本題第（3）問只要直接寫出答案，閱卷過程中發現有學生（1）（2）兩問都不會，但卻能夠猜出第（3）問的答案.即使第（2）問解錯，也能把第（3）問猜對.

其中有學生寫出過程：OA段，5-4=1（元/升）；AB段，5.5-4=1.5（元/升）；BC段，5.5-4.5=1（元/升），所以AB段的利潤率最大.這一過程是錯的，但結果卻正確.

建議本題第（3）問改為寫出這三段利潤率的大小關系，這樣可以減少因為猜答案所帶來的得分不平衡.