用裂項相消法求解數列和的應用舉例

徐長溉

【摘要】筆者在多年的教學實踐中經常能遇到應用裂項相消法求數列和的題型，經過精心歸納總結，現舉例如下供師生們參考借鑒.裂項相消法就是利用分解與組合的思想在數列求和中的具體應用.裂項相消法的實質是將數列中的每項（一般是通項）進行分解，然后再重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.特別適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩項或多項的差的形式，即利用a璶=f（n+1）-f（n），然后累加時抵消中間的許多項從而化繁為簡.從而解決數列求和的問題.

【關鍵詞】數列和的求解；裂項相消法

數列和的求解問題是數列學習中比較棘手的一類問題.如何從復雜紛繁的求數列和的式子中，準確地找出切入的關鍵手法，是我們所要探討和尋求的關鍵所在.裂項相消法就是我們所能舉一反三的借鑒所在.下面我就從具體例子中來觀察裂項相消法的具體優勢所在.

1.等差數列積的倒數和

已知等差數列{a璶}首項a1，公差d.求和：S璶=1[]a1a2+1[]a2a3+…+1[]a璶a璶+1.

解 1[]a璶a璶+1=1[]a璶+1-a璶1[]a璶-1[]a璶+1=1[]d1[]a璶-1[]a璶+1.

S璶=1[]d1[]a1-1[]a2+1[]a2-1[]a3+…+1[]a璶-1[]a璶+1=1[]d1[]a1-1[]a璶+1.

其中a璶+1=a1+nd.

求和：（1）S璶=1[]1·2+1[]2·3+…+1[]n·（n+1）.

（2）S璶=1[]1·4+1[]4·7+…+1[]（3n-2）·（3n+1）.

2.含二次根式的數列和

已知正項等差數列{a璶}首項a1，公差d.求和：S璶=1[]a1+a2+1[]a2+a3+…+1[]a璶+a璶+1.

解 1a璶+a璶+1=a璶+1-a璶（a璶+a璶+1）（a璶+1-a璶）=1d（a璶+1-a璶）.

S璶=1d（2-1+3-2+…+a璶+1-a璶）=1d（a璶+1-1）.

其中a璶+1=a1+nd.

求和：S璶=11+2+12+3+…+1n+n+1.

3.含對數的數列和

已知正項數列a璶，求和：S璶=log璦a2a1+log璦a3a2+…+log璦a璶+1a璶（a>0且a≠1）.

解 log璦a璶+1a璶=log璦a璶+1-log璦a璶.

S璶=log璦a2-log璦a1+log璦a3-log璦a2+…+log璦a璶+1-log璦a璶=log璦a璶+1-log璦a1.

求和：S璶=lg21+lg32+…+lgn+1n.

4.含三角函數的數列和

（1）求和：S璶=sinx+sin2x+…+sinnx.

解 sinnx=sinnxsinx2sinx2=-12sinx2cosnx+x2-cosnx-x2

=-12sinx2cos2n+12x-cos2n-12x.

S璶=-12sinx2cos32x-cosx2+cos52x-cos32x+…+cos2n+12x-cos2n-12x

=-12sinx2cos2n+12x-cosx2.

（2）求和：S璶=tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tannxtan（n+1）x.

解 tanx=tan[（n+1）x-nx]=tan（n+1）x-tannx1-tan（n+1）xtannx.

tan（n+1）xtannx=1-tan（n+1）x-tannxtanx.

S璶=1-tan2x-tanxtanx+1-tan3x-tan2xtanx+…+1-tan（n+1）x-tannxtanx=n+tanx-tan（n+1）xtanx=n+1-tan（n+1）xtanx.

5.含排列組合種數求和

（1）S璶=1·1！+2·2！+…+n·n！.

解 n·n！=（n+1）！-n！，S璶=2！-1！+3！-2！+…+（n+1）！-n！=（n+1）！-1.

（2）S璶=12！+23！+…+n（n+1）！.

解 n（n+1）！=（n+1）-1（n+1）！=1n！-1（n+1）！.

S璶=11！-12！+12！-13！+…+1n！-1（n+1）！=1-1（n+1）！.

（3）S璶=c22+c23+c24+…+c2璶.

解 由組合性質c2璳=c3璳+1-c3璳，得S璶=c22+c34-c33+c35-c34+…+c3璶+1-c3璶=c3璶+1.

6.含指數的數列求和

求和：S璶=a（a+1）（a2+1）+a2（a2+1）（a3+1）+…+a琻（a琻+1）（a琻+1+1）（a>0，且a≠1）.

解 a琻（a琻+1）（a琻+1+1）=1a-11a琻+1-1a琻+1+1.

S璶=1a-11a+1-1a2+1+1a2+1-1a3+1+…+1a琻+1-1a琻+1+1=1a-11a+1-1a琻+1+1.

求和：S璶=2（2+1）（22+1）+22（22+1）（23+1）+…+2琻（2琻+1）（2琻+1+1）.

7.等差數列的和

已知a璶=2n+1，求S璶

解 a璶=（n+1）2-n2，S璶=22-12+32-22+…+（n+1）2-1=n2+2n.

8.等比數列的和

已知a璶=2琻，求S璶.

解 a璶=2琻+1-2琻，S璶=22-2+23-22+…+2琻+1-2琻=2琻+1-2.

9.等差數列乘等比數列的和（主要用錯位相減法）

已知a璶=4n-55琻，求S璶.

解 a璶=4n-55琻=n-15琻-1-n5琻，S璶=0-15+15-252+…+n-15琻-1-n5琻=-n5琻.

綜上，我們可以看到裂項相消法在數列求和中的具體應用.它使我們找到了一個能夠切入紛繁多變的數列求和中行之有效的實用手法.同行不妨一試，學者不妨效法.