巧用換元法求無理函數值域應用問題的探究

樊宏偉

【摘要】換元法是用一種變量形式去取代另一種變量形式，從而把一個函數變為簡單函數.本文對用代數換元法和三角換元法求三類無理函數的值域的應用問題作些探討.

【關鍵詞】換元法；無理函數；分式無理函數；求值域的應用

換元法是一種變量代換，其實質是用一種變量形式去取代另一種變量形式，從而把一個函數變為簡單函數.所換新元的范圍由原函數的定義域及所換元的表達式來確定.本文對用代數換元法和三角換元法求三類無理函數的值域作些探討.

一、形如“y=mx+n±ax+b”的函數

點撥 函數為根號內外自變量的次數相同的無理函數，一般令t=ax+b，將原函數轉化為t的二次函數.通過換元將問題轉化為求二次函數值域，但是換元后要注意新元的范圍.

例1 求函數f（x）=x-3+2x+1的值域.解 函數的定義域為x|x≥-12.設t=2x+1，（t≥0），

則x=t2-12，于是y=t2-12-3+t，當t=0時，

即x=-12，y璵in=-72.

當t→+∞時，y→+∞.

所以，原函數的值域為yy≥-72.

二、形如“y=mx+n±ax2+bx+c（a<0，Δ=b2-4ac>0）”的函數

點撥 函數根號內外自變量x的次數不同，又a<0且Δ>0，函數的定義域為閉區間[x1，x2]，一般采用三角換元法求函數的值域.可令x=x2-x12sinα+x2+x12且α∈-π2，π2，即原函數可化為y=Asin（α+φ）+k型函數，可得出函數的值域.至于a>0且Δ>0及其他類型，可自己分析一下.

例2 求函數f（x）=2x-4-x2的值域.

解 令x=2cosα，（0≤α≤π），

則f（x）=4cosα-4-4cos2α=4cosα-2sinα=25sin（φ-α），

其中sinφ=25，cosφ=25.因為0≤α≤π，所以φ-π≤φ-α≤φ.

所以-1≤sin（φ-α）≤sinφ，而sinφ=25.

所以函數f（x）=2x-4-x2的值域為f（x）∈[-25，4].

三、形如“y=max+b±ncx+d，（ac<0）”的函數

點撥 函數的兩根號內自變量都是一次或都是二次，且ac<0，函數的定義域為閉區間，如[x1，x2]，則可作代換，令x=（x2-x1）sin2α+x1，且α∈0，π2，即原函數可化為y=Asin（α+φ）型的函數，易得出函數的值域.

例3 已知函數f（x）=1-x+x+3的值域.

解 因為函數定義域為x∈[-3，1]，故1-x∈[0，2]，

所以可設1-x=2cosθ，x+3=2sinθ，θ∈0，π2.

所以y=2cosθ+2sinθ=22sinθ+π4.因為θ∈0，π2，θ+π4∈π4，3π4.

sinθ+π4∈22，1.所以2≤y≤22.故y璵ax=22，y璵in=2.

函數y=1-x+x+3的值域f（x）∈[2，22].

四、無理分式函數f（x）=p（x）q（x）求值域

點撥 根據函數表達式的結構特征選擇適當的方法轉化為求一個簡單函數的值域.其基本思想方法是通過適當的換元，將其轉化為我們熟知的函數后求值域.

例4 求函數y=x3（1+x2）3的值域.

解 x∈R，令x=tanα，α∈-π2，π2，

則y=tan3α（1+tan2α）3=tan3αsec6α=tan3αsec3α=sin3α.

因為α∈-π2，π2，所以-1

總之，采用換元法求函數的值域，其目的有兩個，一是化簡運算過程，避繁求簡；二是轉化函數的形式，化生為熟.

【參考文獻】

[1]繆選民.用三角換元法求兩類無理函數的值域.數學教學通訊，2008（4）.

[2]張輝.用換元法求三類無理函數的值域.