淺談直接積分法淺談直接積分法

薛秋

【摘要】在高等數(shù)學(xué)中，直接積分法是最基本、最重要的內(nèi)容之一.它是一種利用不定積分的運算性質(zhì)和積分基本公式，直接求出不定積分的方法.該方法掌握得如何，直接關(guān)系到后繼課程的學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】不定積分；直接積分法

大家知道，直接積分法是求不定積分的最基本的方法，它是以基本積分表和基本運算法則為基礎(chǔ)通過代數(shù)或三角的恒等變換把積分化成基本積分表中的形式而求解積分的一種重要方法.本文就此談?wù)勏嚓P(guān)內(nèi)容.

一、直接積分法是以基本積分公式與不定積分的基本運算法則為基礎(chǔ)的

不定積分的兩個運算法則是：

1.А襨f（x）dx=k∫f（x）dx（k為非零常數(shù)）.

2.∫f（x）±g（x）dx=∫f（x）dx±∫g（x）dxВǜ梅ㄔ蚩賞乒闃劣邢薷齟數(shù)和）.

上述法則與基本積分公式的結(jié)合使用是不定積分的基本內(nèi)容.

例1 求А要В2x3-e瑇+3）dx.

解 原式=2А要x3dx-А要e瑇dx+3А要dx=x42-e瑇+3x+C.

例2 求А要3+33x2x23x2dx.

解 原式=3А要В▁-83+x-2）dx=-95x-53-3x-1+C.

例3 求А要x2+xx+3xdx.

解 原式=А要x32+x+3xdx=25x52+12x2+6x12+C.

由例2、例3可以看出，對于某些分式或根式函數(shù)求積分，可先把它們化為xα的形式，然后應(yīng)用冪函數(shù)的積分公式求出積分.

二、通過代數(shù)恒等變形把所求積分化為基本積分表中的形式

當(dāng)被積函數(shù)是一個比較復(fù)雜的函數(shù)時，這時在積分基本公式中沒有此種類型的積分公式，我們常常把被積函數(shù)拆成幾個簡單的函數(shù)和的形式，而每一個積分都是基本積分，可逐項積分.

例4 求А要1+2x2x2（1+x2）dx.

解 原式=А要1+x2x2（1+x2）+x2x2（1+x2）dx=А要В1x2+11+x2）dx=-1x+arctanx+C.

例5 求А要x41+x2dx.

解 原式=А要x4-1+11+x2dx=А要x2-1+11+x2dx=x33-x+arctanx+C.

三、通過三角恒等變換化簡求解積分

當(dāng)被積函數(shù)中含有三角函數(shù)時，經(jīng)常需要利用三角恒等式變換對被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)淖冃危儆嬎惴e分.

例6 求А要sin2xcosxdx.

解 原式=А要2sinxcosxcosxdx=2А要sinxdx=-2cosx+C.

例7 求А要1sin2xcos2xdx.

解 原式=А要sin2x+cos2xsin2xcos2xdx=А要dxcos2x+А要dxsin2x=tanx-cotx+C.

四、必須對學(xué)生提出要注意的問題

在開始接觸不定積分的時候，由于微分與積分有明顯的不同，對要注意的地方應(yīng)及時提醒學(xué)生：

1.不定積分的結(jié)果中一定含有任意常數(shù)c，這是因不定積分是求一個函數(shù)的全體原函數(shù)，如果不寫任意常數(shù)c，就只有求出其中的一個原函數(shù).

2.積分變量用什么字母表達無關(guān)，即積分變量既可用x表示，也可用t表示，但必須注意在同一問題中應(yīng)該用同一個字母表示（換元除外）.

例8 А要tan2tdt=А要sin2tcos2tdt=А要1-cos2tcos2tdt=А要1cos2tdt-А襠t=tant-t+C.

顯然這里的積分變量是t.

3.積分的結(jié)果在表達的形式上不唯一.

例9 求А要-11+x2dx.

解 法一 А要-11+x2dx=arccotx+C.

法二 А要-11+x2dx=-А要11+x2dx=-arctanx+C.

可以證明兩個結(jié)果的表達式只差一個常數(shù).

【參考文獻】

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[2]沈艷.高等數(shù)學(xué)知識要點與習(xí)題解析[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2008（4）.