構造函數法解決導數問題的研究

寧桂華

【摘要】高中數學題紛繁復雜，而導數在高中數學中占有較大比例.導數中的題，普遍反映不如解析幾何中的題規律性強，如何在紛繁復雜的題中找出規律性很強的類型題于教師于學生都顯得尤為重要.

【關鍵詞】構造函數法

本人通過多年的教學經驗，就構造函數法解決導數問題進行初步討論，望對同行教學有所幫助，并期望彌補不足.

類型一 將左右兩側化為相同個數的式子

例1 用導數證：ln22·ln33·…·lnnn<1n，（n≥2，n∈N常.

分析 即證ln22·ln33·…·lnnn<12·23·…·n-1n.

即證lnxx1），即證lnx1）.

證明 設g（x）=lnx-（x-1），（x>1），發現g（1）=0，g′（x）=1[]x-1<0，g（x）為減函數，所以x>1時，g（x）1），得證.

例2 姓整數m，n，證：1ln（m+1）+1ln（m+2）+…+1ln（m+n）>nm（m+n）恒成立.

分析 即證

1ln（m+1）+1ln（m+2）+…+1ln（m+n）>1m-1m+1+1m+1-1m+2+…+1m+n-1-1m+n.

即證1lnx>1（x-1）x，（x>1）.

即證lnx1）.（證明略）

例3 證明：ln（22+1）+ln（32+1）+…+ln（n2+1）<1+2lnn（n≥2，n∈N常.

分析 即證ln（22+1）+ln（32+1）+…+ln（n2+1）<1+ln22+ln32+…+lnn2）.

又 122+133+…+1n2<11·2+12·3+…+1（n-1）n<1.

即證ln（22+1）+…+ln（n2+1）<122+ln22+132+ln32+…+1n2+lnn2.

即證ln（x+1）<1x+lnx（x>1）.

即證ln（1+1x）<1x，（x>1）.

即證ln（1+t）

證明 設h（t）=ln（1+t）-t，h′（t）=11+t-1=-t1+t<0.

∴h（t）

總結：此類題最明顯的規律是將左、右兩側化為相同個數的式子，難點是對右側式子的處理.

類型二 直接構造函數

例4 對衝≥3，n∈N*，1n2

證 （Ⅰ）右側即證ln1+1n<1n.

令1n=x>0，

即證ln（1+x）0）.下面略.

（Ⅱ）左側即證ln（1+x）-x2>0，0

令ψ（x）=ln（1+x）-x2，

ψ′（x）=11+x-2x=-2x2-2x+11+x，

ψ′13>0，

∴x∈0，13，ψ′（x）>0.

∴ψ（x）>ψ（0）=0.

例5 f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，

a≤-2，證：對衳1，x2∈（0，+∞），

f（x1）-f（x2）≥4x1-x2.（2010遼寧）

證明 不妨設x1>x2，則f（x1）

即證f（x2）-f（x1）≥4（x1-x2）.

即證f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.

即證g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）為↓.

g′（x）=2ax2+4x+（a+1）x.

Δ=-8（a-1）（a+2）<0.

∴g′（x）<0.

∴g（x）在（0，+∞）為減函數.

例6 已知定義在R上的可導函數f（x）的導數為f′（x），滿足f′（x）

A.（-∞，e4）B.（e4，+∞）

C.（-∞，0）D.（0，+∞）

解 由f′（x）-f（x）<0，令g（x）=f（x）e瑇，

∴g′（x）=（f′（x）-f（x））e瑇（e瑇）2.

∴g′（x）<0.

∴g（x）在R上為減函數.

又 f（2）=f（0）=1，

∴f（x）e瑇

∴g（x）

∴x>0.

總 結本文僅對幾個規律性很強的構造函數的導數問題作了總結.通過本文的研究感悟到“規律是客觀存在的”，尋找規律的過程是一種創造性思維的過程，是數學發現的一種重要途徑.其實規律本就客觀存在，有時缺少的是發現規律的人.教師在教學中要挖掘規律，使數學簡單化；學生在學習中也要認真總結規律性的東西，從而使學習更簡單.總之，發現規律的過程是我們要共同研究的重要過程.望教師與學生共同協作發現規律教學，使教學更簡潔、更實效.