系統思考在高中數學教學中的應用

張曉鳳

【摘要】差分和差分方程是高中數學的基礎課內容，在實際問題中許多變量的變化都是通過差分來分析的，差分方程x璶+1=Ax璶描述了動態系統的長期行為和演化，但由于中學生知識的局限性，并不能對這個長期行為進行合理的分析.本文通過系統動力學及其研究工具讓學生體會動態系統的長期行為，提高學生發現問題、解決問題的能力.

【關鍵詞】差分；系統動力學；中學數學

本文以數學課堂知識為背景，運用系統的觀點以及系統動力學的工具展開對相關問題的研究與討論，通過實驗、觀察、分析與想象，經計算機進行模擬和驗證，激發學生在學習的過程中產生探究的欲望，通過系統思考和Stella的模擬，讓學生體會變量之間的關系，觀測動態系統的長期行為，在我們的實際教學活動中取得了較好的效果，在此給出兩個具體案例.

案例一 教師職業轉換預測問題

在某城市有15萬人具有本科以上學歷，其中有1.5萬人是教師，據調查平均每年有10%的人從教師職業轉化為其他職業，又有1%的人從其他職業轉化為教師職業，試預測5年后這15萬人中還有多少人在從事教師職業.

這是一個簡單的差分方程問題，傳統的數學解法可以用x璶表示第n年后從事教師職業的人數，y璶表示第n年后從事其他職業的人數，則有

x璶+1=0.9x璶+0.01y璶，

y璶+1=0.1x璶+0.99y璶.ふ饈嗆有兩個未知數列{x璶}，{y璶}的一階線性差分方程組.如果已知初始值x0=1.5，y0=13.5，用迭代法求差分方程的解，把x0=1.5，y0=13.5代入方程組可得x1=1.48，y1=13.52.

通過計算學生們發現教師的人數一直在減少，其他職業的人數一直在增加，但教師人數是不是會一直減少下去而其他職業的人數一直增加呢？這種趨勢會不會因為教師和其他職業之間轉化率的改變而改變呢？我們通過Stella對教師人數和其他職業人數的長期行為進行了模擬.按照題目設定參數，運行后的結果顯示11年后，教師人數和其他職業人數不再發生變化.學生們驚奇地發現，不論教師和其他職業人數的轉化率為多少，教師人數和其他職業人數的長期行為都將不會發生改變，系統最終存在穩定狀態.

案例二 捕食者與被捕食者系統

在某個生態環境中，貓頭鷹以鼠為食.因此，鼠數量增加，貓頭鷹數量也會增加，貓頭鷹數量的增加，又會使鼠的數量減少.而鼠數量減少，由于食物缺乏貓頭鷹的數量還會相應地減少.顯然，它們的數量關系是相互制約的.為了更好地研究此生態系統中鼠和貓頭鷹的相互制約關系，下面考慮一個簡化“鼠—貓頭鷹生態模型”.

假設如果沒有鼠作食物，每個月只有40%的貓頭鷹可以存活；如果沒有貓頭鷹捕食，鼠的數量每個月會增長20%.如果鼠充足，貓頭鷹的數量會增加30%，另外平均每個月一只貓頭鷹可以吃掉鼠1000p只，我們把p稱為捕食參數，當捕食參數發生變化時，系統也會隨之發生變化.如果用x璶表示第n年后貓頭鷹的數量，y璶表示第n年后鼠的數量，則有差分方程

x璶+1=0.4x璶+0.3y璶，

y璶+1=-px璶+1.2y璶.

如果已知初始值x0和y0，用迭代法求可以求出差分方程的解.但對于p的不同取值，生態系統會發生什么樣的變化呢？

首先建立系統模型，嘗試p分別取值0.1，0.2，0.3時，STELLA運行結果顯示，貓頭鷹和鼠的數量呈現出指數增長；而嘗試p值為0.4時，運行結果顯示貓頭鷹和鼠的數量在逐年增加后趨于穩定狀態；最后嘗試p的取值大于0.4，貓頭鷹和鼠的數量先逐年增加，然后不斷地減少直至滅絕.

從以上的運行結果學生們清晰地看到，經過充分長的時間之后，當捕食參數小于0.4時，兩個種群都會增長，生態系統不斷膨脹；當捕食參數等于0.4時，兩個種群數量都趨于一個穩定值，生態系統趨于平衡；當捕食參數大于0.4時，兩個種群終將滅絕，生態系統崩潰.

我們用情境教學的方法力求每名學生都能在輕松氛圍中學到知識，從而激發學生學習的興趣.以課本知識為基礎，設立系統的情境教學，讓學生自己發現系統思考的微妙法則，建立系統思考的基本概念，讓學生在學中玩兒，在玩兒中學，逐步讓教師的教授式學習退出課堂.實踐證明，通過系統的思考及Stella的模擬，加深了學生對問題的理解，并進一步明確了變量之間的關系，為提高學生運用系統思考的方法在現實生活中發現問題、解決問題的能力起到了推動作用.

【參考文獻】

[1]吳錫軍，袁永根.系統思考和決策試驗.南京：江蘇科學技術出版社，2001.

[2]吳錫軍.系統思考與系統動力學教程.南京：江蘇科學技術出版社，2009.