數學方法論下高中數學教學的思考

余麗娟

【摘要】根據新課程改革的課程理念，對高中數學的教與學需要進行改善，借助數學方法論的思想和心理學有關現象，采用返璞歸真，主動建構的方法，來改善學生的學習方式和老師的教學方法，從而提高教學質量.

【關鍵詞】數學方法論；高中數學教學

隨著我國數學課程改革的不斷深入和發展，課程理念也進一步得以確定.《普通高中數學課程標準》對課程理念的闡明是：關注學習過程，改善學生的學習方式.因此，在新課程改革下，對高中數學的學習要倡導積極主動、勇于探索的學習方式.當然與之相輔的教師的教也要進行“轉型”，從而促進學生學習方式的改善.

數學方法論是專門研究數學的發展規律，研究數學的發現、發明和創新機制的一門學科，數學方法論的數學教育方式就是運用數學本身的思想方法指導數學教育改革的一種教學方式.數學方法論在數學教學中的貫徹，把科學的數學觀.數學中返璞歸真的教育.數學心理學教育等作為宏觀可控變量，用來設計數學課型與教法，從而提高教學質量.

心理學研究表明：學生是學習的主體，所有的新知識只有通過學生自身的“再創造”活動，才能納入其認知結構中，才可能成為下一個有效的知識.“有意義的學習應是兒童以一種積極的心態，調動原有的知識和經驗認識新問題，同化新知識，并構建他們自己的意義”，這說明，在數學課程的設計或實踐中，選擇適當的學習方式，重視學生積極主動地參與學習過程，并根據他們已有的知識和經驗進行理解、加工和構建自己的意義，是十分重要的，學生的學習活動不僅僅限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和積累，而是改善學習方式，發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為“再創造”過程.

因此，數學教學首先要讓數學恢復其本來面目，恢復其創造過程中的形式，進行所謂返璞歸真的改革，才能通過學生自己的發現與創造學習數學.當然，要讓學生像數學家一樣親身來發現與創造數學模式似乎不可能，但通過主動建構來學數學，體驗數學家發明與創造的喜悅是完全可能的.

一、“返璞歸真”的概念課

數學概念是數學學習的基石，只有把概念理解透徹，牢固掌握，才能在數學的學習過程中游刃有余.因此，教師對數學概念教學應該返璞歸真，根據不同教學內容的要求，努力揭示數學的本質.

在數學概念教學中，就應引導學生特別注意概念所反映對象的范圍，概念定義中的關鍵詞語，概念定義中詞語的嚴密性，概念的語言表達方法，概念中的“特例”與“一般”，概念間的相互聯系等等，以此作為思維的展開點，學生才能真正理解概念，掌握概念.

二、經歷“再創造”，主動建構

著名數學家徐利治指出“無論是數學中的概念和命題，或是問題，或方法，事實上都應該被看成一種具有普遍意義的模式”.因此，學生在學習數學過程中，通過點典型例子的分析和主動探索，逐步建立各種結構.

1.建立知識結構

認知心理學揭示了人們學習數學中不斷建構的過程，當學生原有認知結構與外界數學新情境基本相符時，學生可以通過同化和順應的方式來擴大自己的認知結構.

如：a+b與ab是最基本的運算形式，在二次方程中，兩根之和.兩根之積表達為根與系數的關系，對解決二次方程相關問題的應用之大，從初中起學生就感受很深.高中階段可進一步發掘a+b，ab結構式的運用.

在三角公式中，a+b，ab可共存于兩角和的正切：

tan（α+β）=tanα+tanβ[]1-tanαtanβ輙anα+tanβ=tan（α+β）·（1-猼anαtanβ）.

對于正余弦，sinα±cosα與sinαcosα經常需要相互轉換.

例1 （1）求tan70°+tan50°-3tan70°tan50°的值；

（2）已知sin2x+2（sinx+cosx）-22-1=0，求tanx；

（3）求函數y=sinx·cosx[]1+sinx+cosx的值域.

（解略）

進一步探索發現a+b與ab自身結構變形：

（a±1）（b±1）=a·b±a±b+1有奇特的應用場合.

例2 已知數列{a璶}，{b璶}的前n項和分別為A璶， B璶 ，那么數列{A璶b璶+B璶a璶-a璶b璶}的前n項和是.

分析與解 對于a+b與ab可以構造出（a±1）（b±1）.

據此，設新數列為C璶 ，則

C璶=A璶B璶+B璶a璶-a璶b璶=A璶B璶-A璶B璶+A璶b璶+B璶a璶-a璶b璶=A璶B璶-（A璶-a璶）（B璶-b璶）=A璶B璶-A﹏-1狟﹏-1，n∈N，C1=A1B1-A0B0，

C2=A2B2-A1B1.

不妨設A0B0=0，則

C3=A3B3-A2B2；

C璶=A璶B璶-A﹏-1狟﹏-1.

所以，

C1+C2+C3+…+C璶=A璶B璶-A0B0=A璶B璶.即{A璶b璶+B璶a璶-a璶b璶}的前n項和是A璶B璶.

這樣，把學生原有的知識加以鞏固和深化，建立一個知識結構，有助于新問題的解決.

2.建立思想方法結構

為了讓學生掌握新模式，傳統教法總是先做各種鋪墊，讓學生跟著老師的步子被動地承認與模仿，但最終還是改變不了知其然不知所以然的一知半解的局面，因此，讓學生在學習實踐中探索，主動建立數學思想方法結構，從本質上掌握各種新問題.

例如建立目標性解題思想方法結構.

所謂目標性解題就是根據題目的條件，按明確的解題方向，一步步趨近于實現解題的結論，只要條件應用得當，思路與方法不錯，也就能成功地作出解答.

例3 已知函數f（x）的定義域為R，對任意x1，x2∈R，x1≠x2都有|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|，且存在一個實數x0使f（x0）=x0，數列{a璶}中，a1

（1）a璶

分析 本題容易形成數學歸納法的解法，但如果把題設條件用起來，由目標性解題的思想，可使證明顯得順利而簡單.

證明 據題意，不妨設x1=a璶，x2=x0，則

|f（a璶）-f（x0）|<|a璶-x0|，

|2a﹏+1-a璶-x0|<|a璶-x0|.

兩邊平方，化簡，得

a﹏+1（a﹏+1-a璶）-x0（a﹏+1-a璶）=（a﹏+1-a璶）（a﹏+1-x0）<0.（*）

所以， a璶

（1）a﹏+1a璶，n∈N.此即欲證之結論.

（2）a﹏+1>x0，a﹏+1x0矛盾，舍去.

所以，命題成立.

說明 直接利用|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|的條件，結合f（a璶）=2a﹏+1-a璶進行運算化簡，這就是目標性解題思想的應用，其中x1=a璶，x2=x0的關聯性代換以及對（*）的討論，顯得很重要、很關鍵.

在建立某一思想方法結構后，學生就能將其滲透并貫穿于今后的問題解決.這對高中數學的學習是極有利的.

3.建立技巧結構

數學的解題能力之一，講究的就是變換、轉化、代換、化歸等技巧，這些的獲得，全在于對于基本概念的準確把握與靈活運用的同時，建立一定的技巧結構.

如代換技巧就有消元代換、參數代換、增量代換、三角代換、結構代換等，靈活而有效地使用各種代換方法，使看起來不易解決的問題能得到較為理想、較為滿意的解決.

例4 求證：對任意實數a>1，b>1，有不等式a2[]b-1+b2[]a-1≥8.

證明 設a=1+x，b=1+y， x，y∈R+，則

a2[]b-1+b2[]a-1=（1+x）2[]y+（1+y）2[]x≥（2x）2[]y+（2y）2[]x=4x[]y+y[]x≥8，

當且僅當1=x=y，即a=b=2時取等號.

說明 該題采用了增量代換，使問題變得簡單明了.有了一定的解題技巧，在解決較復雜的數學問題時會有事半功倍之效.

因此，數學方法論的指導思想與學生學習的心理特征結合起來，實踐于新課程改革下的高中數學教學，對學生的學習方式的改善和老師的教法的逐步完善具有莫大的幫助和促進作用.同時在教學中把教會學生學會發現、發明與創造進一步落到實處.