高中數學模型教學思考

林根新

【摘要】數學是一門嚴密性、邏輯性和創造性都很強的學科，它要求我們在學習過程中要密切聯系實際.實踐證明，最有效的方法就是建立好數學模型，而構造數學模型則需要我們熟練地駕馭所學的專業知識，只有這樣才能開闊思路，真正體會到數學模型的魅力所在.

【關鍵詞】數學模型；函數；問題

數學已被稱為模式的科學，數學概念和數學命題已經具有超越特殊對象的普遍意義，它就是一種模式，數學問題和方法也是一種模式.我們把數學理解為是概念、命題、問題和方法等多種成分組成的復合體，模式就有助于領悟數學的本質，在高中數學中常被稱為“數學模型”.數學模型就是利用數學語言（包括符號、圖形、公式）模擬現實問題的模型，把問題原型進行抽象、概括、假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構是完全形式化和符號化的模型.

一、數學模型是聯系客觀世界與數學的橋梁

在學習初等代數的時候，我們就已經接觸過數學模型了.當然，那些問題是老師為了教會學生，而人為特意設置的.如我們以前解過這樣的所謂“航行問題”.

例如：甲乙兩地相距750 km，船從甲到乙順水航行需要30 h，從乙到甲逆水航行需50 h，求船速、水速分別是多少？

設：用x，y分別表示船速和水速，可以列出方程：

（x+y）·30=750，（x-y）·50=750.

這組方程就是上述航行問題的數學模型，列出方程，原問題已轉化為純粹的數學問題，方程的解x=20 km/h，y=5 km/h，最終給出了航行問題的答案.

所以，數學模型可以描述為，對于現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據內在規律作出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構.數學模型是用數學語言來模擬空間形式和數量關系的模型.廣義上講，一切數學概念、公式、理論體系、算法系統都可稱為數學模型，如：算術是計算盈虧的模型，幾何是物體外形的模型等.狹義地說，只有反映特定問題的數學結構才稱為數學模型，如一次函數是勻速直線運動的模型，不定方程是雞兔同籠問題的模型等.

二、在探究問題的過程中運用數學模型

數學的思維方式和方法包括對數學問題的認識和解決問題的過程，并在知識的增長過程中發展了思維.在對數學問題的探究中，我們要注重領會用數學模型來優化數學過程，培養學生解決問題和創新思維的能力.

例如：要把數量不限的小球放在同一型號的箱內，每個箱內有10個格子，每一格放一個小球，這些箱子有的格子放有小球，而有的卻空著.如果有兩個箱子，它們至少一個對應的兩個格子，一個有，另一個沒有，那么，我們就認為這兩個箱子不同.每個箱子最多放10個，最少放0個，問可能有多少個這樣的箱子？

模型1 某建筑物裝有10盞燈，在同一時刻的每盞燈都可以開或關.現在用各種方法開燈，兩種開關方法只要有一盞燈的狀態不同（開或關）就認為是不同的開法，所有的燈都關著也是一種開法.問有多少種開法？

模型2 現有一個十列格子組成的長方形表格，在每一行格子中都記有“+”號或“-”號，而行中只要有一個對應格的符號不同，就認為它們不同，問計有不同符號的行有多少種？

模型3 數字0和數字1能組成多少不同的“十位數”（包括數字左邊出現的0的數也作為“十位數”）？

模型4 這個問題解決已顯而易見，“十位數”的每一個位置只能是0或1兩種可能，共有210=1024種不同的可能.模型2中的表格最多有1024行.模型1中的電燈的開法共有1024種.例子中箱子共有1024個.例1可以用三個模型來轉換方式，使問題由難變易，是一種行之有效的解題方法.

在高中數學教學中進行數學模型訓練，有助于學生加深對數學知識系統的學習，有利于培養學生的創新思維能力和實踐能力，并為下一步利用數學模型解決實際問題打下堅實的基礎.

三、函數f（x）=ax+b（a，b>0）模型

對于這類模型應用問題，首先根據題意得出目標函數，再把目標函數變形為f（x）=ax+b（a，b>0）的形式，最后根據ax+b≥2ab（a，b>0）求出最優值.

例如：假設森林發生火災，火勢以每分鐘100 m2速度順風蔓延，消防人員接到警報立即派消防隊員前往撲救，在火災發生后五分鐘到達現場，現已知消防隊員在現場平均每人每分鐘滅火50 m2，所消耗的滅火材料、勞務津貼等費用為每人每分鐘100元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而燒毀1 m2森林損失費為60元，問應該派多少消防隊員前去救火，才能使總損失最少？

這樣的模型應用題出現頻率較高，常常通過均值定理或函數的單調性求最值，此時要注意等號能否取到，必要時要討論求之.

高中數學模型思維方法包括了高中數學問題的學習和解決問題過程，并隨著知識的不斷增長逐步培養創新思維.數學模型化思維來探索知識的過程，通過對知識原型的分析、提煉、加深，不斷對原型的理解和概括，歸納原型的內在特質，再通過進一步演繹推理來求解，深化了對原型的本質特征和數量關系的理解.在數學教學中，必須領會和應用數學模型的方法來優化教學過程，從而培養學生的創新思維和實踐能力.

【參考文獻】

[1]張玫.數學建模在中學教學中的認識[J].考試（高考數學版），2011年Z3期.

[2]蘇華.高中數學建模研究課教學的實施策略研究[D].上海師范大學，2006.

[3]謝云鵬.淺談中學數學建模教學中的基本原則和方法[J].科教新報（教育科研），2010（23）.