加法原理和乘法原理推進數學教學能力的培養

朱萬喜

數學能力在形成人類理性思維的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用.高中數學的學習是一個發現新知識、鞏固舊知識的長期積累過程.數學學科的特點是具有一定的邏輯性、抽象性和廣泛的適用性，培養學生的運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，同時運用所學知識發現問題、分析問題、解決問題、探索問題.

排列組合知識內容抽象，方法獨特而且影響悠遠，是進行思維訓練和能力培養的絕好智能教材.加法原理和乘法原理是人們處理離散對象的計算原理.它像一條紅線貫穿教材始終：從推導排列數，至組合數公式，至處理應用問題，至推導概率公式，至反復應用，最后到步步加深，這是一個循序漸進過程.要具備分析處理問題的實際能力，在教學和復習中就必須一切圍繞對加法原理和乘法原理的理解和應用展開，在反復應用中加深理解，進而達到形成數學思想和提高學習能力的高度.

一、循序漸進，環環相扣

在加法原理和乘法原理的應用中安排了介紹原理、推理原理、解應用問題，必須使這幾次循環每次都有所側重，每次都有質的飛躍.側重引導學生分清、分類與分步的區別和聯系.加法原理需理解各類辦法的互斥性，對乘法原理，明確各個步驟聯系性，缺一不可是前提，重點強調對于完成上一步的任意一種方法，下一步都有同樣多種方法，這才能用乘法原理.對應，應在每一個例題和練習中強調，讓學生從開始就注意到應用兩個原理的條件.

在導出排列數、組合數公式時，側重于強調元素的互異性，從而使學生認識排列數、組合數公式應用的局限性；同時應用乘法原理說明兩個公式間的內在聯系，運用兩分法，講清組合數的兩個性質公式.有比較才有鑒別.可以對比安排一些元素來重復排列、組合問題，可使學生加深對公式適用條件的印象，同時也有利于更進一步熟悉加法原理和乘法原理.如：（1）三封信投入四個信箱，有多少種不同投法？（2）某縣使用7位電話號碼，前兩位都用2，其他各位不限，問該縣最多可安多少部電話？（3）6名同學報名參加音樂、美術、體育三個課外興趣小組，每人限報一個，有多少種報名方法？

在解應用題教學中重點集中在對加法原理和減法原理應用條件的理解和運用上.教材的例題和習題既典型又符合學生的認知水平，對它們應引導學生多問幾個為什么，多從不同角度、不同方向去探索應用兩個原理分析處理問題的方法，充分挖掘每個題目的不同解題方案.例如，從1，3，5，7，9中任取三個數，從2，4，6，8中任取兩個數，組成沒有重復數字的五位數，一共可以組成多少個數？若先選元素后排列為C35狢24狿55=7200（個）；若先選位子，即先從5個位子中選定了3個放奇數（或從5個位子中選2個排偶數），再分別選排元素則為C35 P35 P24（或C25 P24 P25）=7200（個）.

適當選擇既典型又聯系實際貼近生活且難易適中的課外練習題，引導學生自覺用兩個原理去設計不同的解題方案.如3封信投4個郵箱，用乘法原理得43種投法固然簡便，但若用加法原理，分成分別由一個、兩個、三個郵箱去接受三封信這三大類，則得C14+C24狢23狿22+C34狿33=64（種）投法.又如，10 名劃船運動員，其中5名擅長劃左舷，3人擅長劃右舷，另兩個左右都行，今從10人中選6人均分到船的兩舷，有多少種選法？首先確定劃右舷的人，可以兩個左、右舷都行的人不參與劃右舷、有一個參與、兩個人都參與分類，則得C33 C37+ C23 C12 C36+ C13 C22狢35=185（種）選法；若先定劃左舷的人，則得C35狢35+ C25 C12 C34+ C15 C22 C33=185（種）選法.若先把劃左、右舷都行的人安排后再選配其他人，則須分兩人全安排、只排一人、兩人全不安排三大類，其中第一類又分全在右舷、全在左舷、一左一右三小類，第二類又分一人安排在左舷或右舷兩類，故共有（C22 C15 C33+ C22 C35 C13+ P22 C25 C23）+（C12 C25 C33+ C12 C35 C23）+ C35 C33=185（種）選法.此說明雖然都是加法原理，但分類的方案也可以是幾種.利用這些融知識性、趣味性融一體的問題，引導學生擺脫死板的模式，設身處地用加法原理和乘法原理去設計解題方案，對于消除畏難情緒，提高解題能力大有裨益.

不同側重點的講解和應用，學生初步形成應用處理簡單應用題的能力和歸類、分步的數學思維雛形.

二、總結要點，培養能力

1.回顧教學過程，緊扣教材，理清思路前后貫通，使學生充分認識加法原理和乘法原理的綱領作用.如圖所示.

2.圍繞解應用題.加強對條件較復雜的題目的解題訓練，提高應用兩個原理的能力.（1）改造教材例題、習題，適當增加分類、分步難度，起到既復習又提高的作用.如由數字1，2，3，4，5，6可以組成多少個沒有重復數字的比50000大的自然數？或可組成多少個沒有重復數字的比50000大的偶數？或可組成多少個沒有重復數字的比50000大的能被3整除的五位數？（2）編選聯系數學各科知識的習題，以互相滲透，綜合提高.如，已知集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，a，b∈A，那么輻角大于π[]4的不同復數a+bi共有多少個？答案：P23-（C13+ C12+1）.（3）針對典型例題，倡導一題多解，并隨時強調兩個原理的應用和條件.

教師要根據學生的認知特點和學習基礎，采用多樣化的呈現方式，讓學生營造生動有趣的數學課堂.通過知識的講解揭示知識的過程，適時滲透數學思想方法；通過問題解決，突出和深化數學思想，展現數學方法的應用過程；通過復習構建知識網絡，提煉、概括數學思想方法.教師在教學中要架起學生生活與數學的橋梁，針對性地選擇適合學生基礎與生活經驗的內容制作數學應用題，從而促進學生有效的學習能力.