高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的設(shè)計與研究

楊雯靖

【摘要】基于高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革以及素質(zhì)教育的要求，說明了開展高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的必要性，研究了高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)設(shè)計與實施方案，針對實驗教學(xué)中的具體問題進(jìn)行了思考.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實驗；教學(xué)模式；素質(zhì)教育

數(shù)學(xué)實驗是在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革和素質(zhì)教育的形勢下提出的將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)建模與計算機(jī)應(yīng)用三者融為一體的教學(xué)模式.開展高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，適應(yīng)21世紀(jì)人才培養(yǎng)對高等數(shù)學(xué)教學(xué)的新要求.

一、高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的必要性

在高等數(shù)學(xué)的完美公理體系下，發(fā)現(xiàn)問題、處理問題、解決問題的思維軌跡常被掩蓋，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到被動.數(shù)學(xué)實驗拋開抽象的數(shù)學(xué)定理、公式的證明，利用可操作的程序，使學(xué)生在自己的探索實踐中體驗數(shù)學(xué)思維軌跡，對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行觀察、研究和分析，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，完整地模擬一個基本數(shù)學(xué)問題的解決.這不僅加深了對理論知識的理解，而且也培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考并解決問題的能力.同時，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，大量新興的數(shù)學(xué)方法在科學(xué)研究和生產(chǎn)管理等領(lǐng)域中被成功地應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)實驗這種方式可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.所以，數(shù)學(xué)實驗?zāi)苁箤W(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和數(shù)學(xué)實踐能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)及綜合素質(zhì).

二、高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的設(shè)計與實施

1備叩仁學(xué)實驗教學(xué)的基本原則

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，理論教學(xué)強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念與定理的講授，而實驗教學(xué)則側(cè)重于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力、數(shù)學(xué)軟件的操作能力以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng).教師應(yīng)將實驗教學(xué)與理論教學(xué)融為一體，針對教學(xué)相關(guān)內(nèi)容選擇實驗內(nèi)容，將實驗作為輔助教學(xué)手段，幫助學(xué)生更好地理解所學(xué)理論知識.教師在設(shè)計實驗時，應(yīng)以循序漸進(jìn)為原則，涉及的數(shù)學(xué)知識盡量不要超過學(xué)生學(xué)習(xí)的范疇，實驗盡量與專業(yè)相關(guān)，具有一定的實際背景和應(yīng)用價值，讓學(xué)生在實驗中體會到理論和實踐的相互作用.隨著課程的深入，應(yīng)逐漸增加案例的深度，實驗要具有一定的開放性，讓學(xué)生逐步學(xué)會從實際問題中提煉出數(shù)學(xué)模型.高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)強(qiáng)調(diào)以“學(xué)生為主、教師為輔”的原則，學(xué)生對問題進(jìn)行分析思考，獨(dú)立地利用計算機(jī)去編程、計算，教師只起著組織和指導(dǎo)的作用，這樣才能使學(xué)生體驗問題解決的全過程，從實驗中探索數(shù)學(xué)的規(guī)律性.

2備叩仁學(xué)實驗教學(xué)設(shè)計

（1）軟件條件

開設(shè)以算法設(shè)計、數(shù)據(jù)處理和初步的數(shù)學(xué)建模為主體的高等數(shù)學(xué)實驗課，首先應(yīng)選擇合適的、功能齊全的數(shù)學(xué)軟件平臺.應(yīng)用較多的是Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica軟件，其中，Mathematica把數(shù)值和符號運(yùn)算結(jié)合起來，可以方便地作出函數(shù)的圖形，具有安裝快、啟動快的優(yōu)點，比較適用于高等數(shù)學(xué)的實驗教學(xué).

（2）編寫高等數(shù)學(xué)實驗教材

我校高等數(shù)學(xué)實驗課程尚屬建設(shè)階段，現(xiàn)用的數(shù)學(xué)實驗教材并不適用于計算機(jī)基礎(chǔ)知識及高等數(shù)學(xué)知識較為欠缺的大學(xué)一年級學(xué)生.為此，一方面，我們在自編高等數(shù)學(xué)教材中，針對具體內(nèi)容，如函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、函數(shù)作圖以及微分方程求解等，穿插玀athematica編程計算的內(nèi)容；另一方面，我們還編寫了適用于一年級學(xué)生的《高等數(shù)學(xué)實驗》講義，它主要包括玀athematica軟件速成及八次（16學(xué)時）實驗兩部分內(nèi)容，其中第一部分比較系統(tǒng)地介紹了玀athematica軟件的常用方法，第二部分的每次實驗都有完整的實驗內(nèi)容、步驟及練習(xí)思考，有效地保證了高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的順利進(jìn)行.

（3）高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)實驗分為基礎(chǔ)實驗、探索性實驗和綜合實驗三個部分.基礎(chǔ)實驗主要包括計算、驗證、演示和模擬實驗.其中，計算實驗可以通過數(shù)學(xué)軟件求極限、導(dǎo)數(shù)和積分等.驗證試驗可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)定理、公式的計算機(jī)證明，例如驗證兩個重要極限及牛頓—萊布尼茨公式等.演示實驗可以直觀地演示各種靜態(tài)和動態(tài)的圖形，將難以講解的數(shù)學(xué)規(guī)律呈現(xiàn)出來.模擬實驗可以模擬一些數(shù)學(xué)概念的形成過程和結(jié)果，使數(shù)學(xué)變得具體化，例如模擬數(shù)列和函數(shù)的極限等.探索性實驗是讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和實驗知識，獨(dú)立地研究一些與專業(yè)相關(guān)的小案例，設(shè)計算法，編制相應(yīng)的程序來實現(xiàn)，從而體會其蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想和方法.綜合實驗是以高等數(shù)學(xué)為核心向邊緣學(xué)科發(fā)展，可涉及微分幾何、數(shù)值方法、數(shù)理統(tǒng)計、組合與圖論、微分方程、運(yùn)籌與優(yōu)化等.具體以學(xué)生的專業(yè)為背景，設(shè)計一些綜合的實際應(yīng)用型案例，其內(nèi)容可以取自科學(xué)研究中的基礎(chǔ)問題和工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程、經(jīng)濟(jì)、軍事、管理、生活等各領(lǐng)域的實際問題，選擇時應(yīng)遵循可接受性、實用性、開放性等原則，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)實驗的全過程.

利用玀athematica軟件，結(jié)合自編的高等數(shù)學(xué)教材和講義，我們在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中安排了八次實驗，共16課時，分兩個學(xué)期開展.實驗一介紹數(shù)學(xué)軟件的使用方法，然后介紹一元函數(shù)的作圖方法、求函數(shù)值、方程與方程組的解法、不等式與不等式組的解法等等.實驗二介紹用數(shù)學(xué)軟件求極限、無窮小的階、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的微分以及函數(shù)的極值等.實驗三介紹用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行函數(shù)的積分運(yùn)算和求微分方程的解，并掌握用定積分和微分方程解決實際問題的方法.實驗四結(jié)合前面的理論知識及實驗，給出幾個小案例，教師分別闡述背景知識，讓學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)軟件，自己編程，提出問題的解決方案.實驗五用數(shù)學(xué)軟件演示多元函數(shù)作圖，介紹如何求偏導(dǎo)數(shù)、全微分，演示曲面及其切平面，討論多元函數(shù)的極值、二重積分.實驗六介紹如何計算三重積分、曲線積分和曲面積分.實驗七介紹級數(shù)的運(yùn)算、級數(shù)的收斂性和函數(shù)的逼近.實驗八屬于探索性和綜合性實驗，通過前期的積累，教師給出實際案例，讓學(xué)生獨(dú)立思考，解決問題.同時，結(jié)合學(xué)生的專業(yè)背景，討論近年來數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)及競賽的相關(guān)選題，讓學(xué)生體驗從實際問題建立數(shù)學(xué)模型，然后利用數(shù)學(xué)實驗方法解決問題的過程，將數(shù)學(xué)模型教學(xué)進(jìn)一步融入高等數(shù)學(xué)理論教學(xué)中.這八次高等數(shù)學(xué)實驗課，既實現(xiàn)了對高等數(shù)學(xué)理論教學(xué)的有益補(bǔ)充，又培養(yǎng)了學(xué)生的實踐能力，基本滿足了高等數(shù)學(xué)理論課與實驗課的教學(xué)要求.

3備叩仁學(xué)實驗教學(xué)的實施

數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式是以問題為載體、以計算機(jī)為手段、以軟件為工具、以學(xué)生為主體的一種創(chuàng)新教學(xué)模式.高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式主要有兩種，一種是將數(shù)學(xué)實驗融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中；另一種是單獨(dú)開設(shè)數(shù)學(xué)實驗課，進(jìn)行系統(tǒng)的講解和上機(jī)實驗.無論是哪種模式，基本都包括以下環(huán)節(jié)：

（1）教師通過計算機(jī)演示實驗?zāi)康模⑻岢鰧嶒炚n題.

（2）教師講解實驗中問題的背景、相關(guān)的數(shù)學(xué)理論和實驗方法.

（3）組織學(xué)生分組討論，學(xué)生通過自主探究和協(xié)作學(xué)習(xí)，設(shè)計求解的方案，探討解決問題的數(shù)學(xué)模型和算法，并進(jìn)行討論交流.

（4）在教師的指導(dǎo)下，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件或通過計算機(jī)編程進(jìn)行計算，對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，找出可能存在的規(guī)律，并給出嚴(yán)格的論證，完成相應(yīng)的實驗報告或?qū)嶒炚撐?實驗報告是實驗的成果體現(xiàn)，它包括實驗?zāi)康暮鸵蟆嶒瀮?nèi)容、實驗方法和步驟、數(shù)據(jù)記錄和分析、實驗結(jié)果的分析和總結(jié)以及教師評價等內(nèi)容.實驗論文類似研究論文，包括題目、摘要、正文、參考文獻(xiàn)等部分.基礎(chǔ)實驗一般采用實驗報告的形式，而綜合實驗則以實驗論文的形式為主.

4備叩仁學(xué)實驗課的考核

為了確保高等數(shù)學(xué)實驗課的教學(xué)效果，課程結(jié)束時可對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)目己?實驗課的考核可與理論課的考核相結(jié)合，占該課程總成績的15%左右.實驗課的考核成績以學(xué)生提交的實驗報告和實驗論文為主，學(xué)生的每個實驗都由任課教師依據(jù)“真實性、知識性、實踐性、創(chuàng)新性”這四個方面綜合給出成績，試驗總成績根據(jù)每個實驗的成績平均得出.高等數(shù)學(xué)考核方式的改革更加重視知識的實際運(yùn)用能力，符合素質(zhì)教育對高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式改革的要求.

三、結(jié) 語

高等數(shù)學(xué)實驗課為學(xué)生創(chuàng)造出一個科研工作的模擬環(huán)境，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，提高了學(xué)生的綜合素質(zhì).高等數(shù)學(xué)教師需要有扎實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，并掌握幾種常用的數(shù)學(xué)軟件.教師應(yīng)進(jìn)一步探索更加靈活的高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式，鼓勵學(xué)生針對自己感興趣的數(shù)學(xué)問題設(shè)計實驗，使實驗課的內(nèi)容更加生動，實驗的方式更加靈活.同時，擴(kuò)大高等數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)涵，將實驗課的教學(xué)模式引入到工科數(shù)學(xué)的其他課程，進(jìn)一步完善工科數(shù)學(xué)實驗教學(xué)體系，并逐步擴(kuò)大范圍，將數(shù)學(xué)實驗課與大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等活動有機(jī)結(jié)合，吸引更多的學(xué)生參與.這對提高教學(xué)質(zhì)量、推動高等數(shù)學(xué)教學(xué)的全面改革、加強(qiáng)素質(zhì)教育、培育復(fù)合型人才，具有十分重要的現(xiàn)實意義.

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