小學數學教學中數形結合方法的滲透

石丹

摘要： 本文引入一些例子說明數形結合在不同問題中的滲透。一方面將抽象、復雜的數量關系，通過形的形象、直觀揭示出來，達到“形幫數”的目的。另一方面運用數的規律、數值的計算，尋找處理形的方法，達到“數促形”的目的。

關鍵詞： 小學數學教學數形結合由數想形見形思數

數與形是現實世界中客觀事物的抽象和反映，是數學的基石。“數”屬于數學抽象思維范疇，是人的左腦思維的產物；“形”屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產物，數形結合使人充分運用左、右腦的思維功能，相互依存、彼此激發，全面、協調、深入發展人的思維能力。

在小學階段，小學生的思維正處于從以具體形象思維為主逐步向以抽象邏輯思維為主的過渡階段。學生理解和掌握概念、性質、求積公式，形成空間觀念，都是從大量具體的、形象的感性材料開始的。利用數形結合的思想，可以幫助學生建立空間觀念，幫助學生理解題意，尋找解題方法。數形結合是一種重要的數學方法，是充分利用“形”把一定的數量關系形象地表示出來，即通過作線段圖、樹形圖、長方形面積圖、集合圖等圖形幫助學生正確理解數量關系，使問題簡明直觀，同時也是人們存在大腦中的兩種基本思維形式。在數學思維過程中，邏輯思維是核心，形象思維是先導，但具體的數學思維過程往往是兩者交叉運用、濃縮升華的過程。這就要求我們重視數形結合的數學思想方法，讓學生的邏輯思維和形象思維水平得到提高。

所謂數形結合方法，就是在研究數學問題時，由數想形、見形思數、數形結合考慮問題的一種思想方法。數和形的內在聯系，不僅使幾何學獲得了有力的代數化工具，還使許多代數學和數學分析的課題具有鮮明的直觀性，進一步開拓出新的研究方向。數形結合思想的實質：1.通過數形之間的相互轉化，把抽象的數量關系，通過理想化抽象的方法，轉化為適當的幾何圖形，從圖形的結構直觀地發現數量之間存在的內在聯系，解決數量關系的數學問題；2.把關于幾何圖形的問題，用數量或方程等表示，從它們的結構研究幾何圖形的性質與特征。

由此可見，在小學數學教學中把抽象的數學數字和形象的教具學具等相結合，滲透數形結合方法的重要性。數形結合在數學發展中的重要意義，正如法國數學家拉格朗日（Lagrange，1736—1813）在《數學概要》一書中所說：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”本文僅從數形結合的兩個本質屬性闡述如下。

一、由數想形

所謂由數想形即利用數的計算來揭示幾何形體的特征及它們之間的內在聯系。根據數學問題中“數”的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規律研究解決問題，可以化抽象為直觀，易于顯露出問題的內在聯系。在小學數學教學過程中對于不同的問題，可將數量關系轉化為不同的圖形。其中有一個原則：能把數量關系最清晰、最直接地顯示出來的圖形，是我們最佳的選擇。

例1：講數字3時，用3根小棒擺成三角形；講數字4時，用4根小棒擺成正方形。這樣處理，既有利于學生通過直觀實物抽象出數字3和4，又有利于學生初步認識這些圖形的某一特征（如三角形有三條邊，正方形有四條邊）。通過數形結合探索規律可以培養學生抽象概括的能力，發展思維的創造性。出題目時要注意多層次，以便于區分學生的不同思維水平。

例2：（1）照下圖的樣子用小棒連著擺正方形。

□□擺2個用（）根

□□□擺3個用（）根

□□□□擺4個用（）根

（2）連著擺6個正方形，要用（）根小棒，寫出算式。

（3）如果不數小棒，你能找出一般的計算公式嗎？

此題有3個層次，第1小題是通過直觀進行計算，第2小題離開直觀進行計算，第3小題脫離具體計算概括公式。實驗表明，學生的答案呈現不同的思維水平。例如，有的學生第2小題就做錯了，有的學生第2題雖然做對，但不會在此基礎上概括出一般計算公式。

例3：一位教師出了這樣一個題目：“某車間用一塊長90分米、寬60分米的鐵皮剪成半徑是10分米的圓形鐵片，該怎樣下料才能使鐵皮的利用率最高？”

結果多數學生列成下式：90×60÷（3.14×102）≈17個；部分學生通過畫圖（左下圖）得到答案是12個；還有一部分學生通過操作（如右下圖）得到答案是13個。通過討論，學生認識到最后一種方法利用率高，而第一種計算方法是脫離了實際。通過這樣的問題，學生初步體會到在解決實際問題時絕不能生搬硬套所學的計算知識，還要注意對實際問題進行具體分析。

二、見形思數

所謂見形思數即利用數的計算來揭示幾何形體的特征及它們之間的內在聯系。某些有關幾何圖形性質的問題，可轉化為數量關系的問題，借助代數運算、三角運算或向量運算，常可化難為易，獲得簡單易行的解題方案。

例如，等底等高的各種三角形，經過計算之后，發現它們的面積總是相等的，這就揭示了這些三角形之間的聯系；再如長方形的特征是對邊相等，四個角是直角，也是學生通過量一量，算一算等活動揭示出來的；又如，平行四邊形的面積公式是根據長方形的面積公式推導出來的。教學時可分三步走，首先教學生用數方格的方法學習求平行四邊形的面積。接著引導學生操作，運用割補、平移的方法，把一個平行四邊形轉化為一個與它面積相等的長方形。然后通過觀察思考分析推理，讓學生找出長方形的長和寬與原平行四邊形的底和高的關系，從而推導出平行四邊形的面積計算公式。通過平移轉化的方法把新知識轉化為舊知識，以舊引新，使學生既學會了新知識又復習了舊知識。

小學生從形象思維向抽象思維發展，一般來說需要借助于直觀。

例4：中年級學生學習“求比一個數的幾倍還多幾（少幾）”的應用題時，對“幾倍多幾”或“幾倍少幾”較難理解，為突破這個教學難點，設計了下面的圖形：

結合圖形，讓學生說：有6個□，△的個數比□的3倍還多4個；也可以說：有6個□，△的個數比□的4倍少2個。

接著，出示下面的問題：

（1）□有6個，△比□的3倍多4個，△有多少個？算式：6×3+4=22個

（2）□有6個，△比□的4倍少2個，△有多少個？算式：6×4-2=22個

比較兩題的算法，都要分兩步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上倍相差的數。教學時不妨把這兩個相關的內容結合起來一起教，并借助圖形的幫助，學生更容易理解，思維也更靈活。如自編應用題時，有的學生編了：“皮球的個數比足球的4倍少3個，也就是比足球的3倍多2個，皮球有多少個？”這題編得富有創造性，如果沒有圖形的幫助，這樣的教學效果就無法達到。

有些教師在教學過程中教給學生區分題目類型，運用解題公式，結果給學生增加了學習難度，出現死記硬套的現象。教學數學知識不宜直接教給抽象類型、公式，而應結合操作、直觀，使學生掌握分析和解答題目的方法。解題經驗告訴我們，當尋找解題思路發生困難時，不妨從數形結合的觀點去探索；當解題過程的復雜運算使人望而生畏時，不妨從數形結合的觀點去開拓新路；當需要檢驗結論正確時，不妨從數形結合的觀點去驗證，往往會產生滿意的效果。

數學研究的是現實世界的數量關系和空間形式，而現實世界本身是同時兼備數與形兩種屬性的，既不存在有數無形的客觀對象，又不存在有形無數的客觀對象。因此，在數學發展的進程中，數和形常常結合在一起，在內容上互相聯系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉化。人們總是充分運用數形結合、數形轉化的方法解決各種數學問題。

“數與形本是兩相依，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微，切勿忘，數形結合百般好，數形隔離萬事休。”這首詩便是對數形結合之妙處的最佳寫照。所以教師要在教學中及時滲透數形結合的思想方法，借助各種直觀教具幫助孩子形成初步數概念；要為孩子提供操作、游戲用的材料和玩具；讓孩子通過感官，饒有興趣地在操作中獲得豐富的感性經驗，從而形成初步抽象的數概念。在小學數學教學中，數形結合能不失時機地為學生提供恰當的形象材料，可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利地、高效率地學好數學知識，更有利于學生學習興趣的培養，智力的開發，能力的增強，使教學收到事半功倍的效果。

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