數(shù)學教學中的定式思維與發(fā)散思維

楊洪瑞

對于定式思維，我們很多人在認識上帶有一定的片面性，往往只看到其消極的一面，而忽略了其積極的一面。而在許多情況下，學生認識和解決問題總是在定式思維的基礎(chǔ)上發(fā)生的，但這種思維方式有時會產(chǎn)生一種負面效應(yīng)，即會制約發(fā)散思維的產(chǎn)生。因此，在教學中，我們應(yīng)正確認識定式思維的雙重性。

一、定式思維是發(fā)散思維的基礎(chǔ)

學生積累新知的過程，實際上就是各種思維定式的構(gòu)建過程。在正常情況下，學生解題時，大多都能迅速聯(lián)想和使用已掌握的知識技能，把一些需要解決的新問題，納入到曾經(jīng)解決的舊問題范疇，依據(jù)舊知識的方法產(chǎn)生新的聯(lián)想，從而尋找出新問題的解決途徑。沒有對基礎(chǔ)知識和基本技能的牢固掌握，要想靈活多變地解決面臨的新問題，是不可能的。

例如：已知m、n是方程x2+(a-2)、x+1=0的兩根，求(1+am+rn2)(1+an+n2)的值。

這道問題中，將所求的代數(shù)式展開，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，這是學生解題中的一種思維定式，這種計算比較復雜。可以引導學生進行另一種思維活動，考慮到m、n是方程的兩根，由根的定義可知，有m2+(a-2)m+1=0和n2 +(a-2)n+l=0，從而求得rn2+arn+l=2m，n2+an+l=2n，那么，有(rn2+am+1)(n2+an+1)=2m·2n=4mn=4。顯然，后一種計算較簡便。而這種思考問題的過程，是建立在根的定義及根與系數(shù)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，由此而產(chǎn)生一種新的思維，使學生的思維活動不限于已有的定式思維范圍。

因此，在教學中，我們應(yīng)有機地結(jié)合教材內(nèi)容，教給學生一些數(shù)學解題的思維方法。要讓這些思維方法在學生頭腦中形成積極的思維定式，從而拓寬思維聯(lián)想的渠道，提高思維聯(lián)想的速度，以充分發(fā)揮思維定式的積極作用。

二、克服思維定式的消極性，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

定式思維對問題的解決既有積極的一面，也有消極的一面，它容易使人產(chǎn)生思維上的惰性，造成在解題中照搬已有的經(jīng)驗，照套已有的方法，只注意問題的相似性，而忽略其差異性。當新的問題形似質(zhì)異時，定式思維往往會使解題者步入誤區(qū)。因此，我們在教學中應(yīng)改變傳統(tǒng)的教學模式，克服定式思維的消極性，引導學生進行發(fā)散思維。

（1）在數(shù)學公式、法則的教學中應(yīng)注重培養(yǎng)學生的逆向思維。逆向思維是發(fā)散思維的一種形式，是突破習慣性正向思維束縛的一個有效方法。數(shù)學公式總是雙向的，可是不少學生只會順用，對于逆用、特別是利用變形的公式，學生就很不習慣。例如：化簡(a+1)2(a2-a+1)2(a-1)2(a2+a+a+1)2 ，如果受順用公式的定式影響，將式子按完全平方公式展開，顯然是很復雜的，倘若逆用(ab)n=an·bn，再利用平方差或立方和、立方差公式，則化簡過程就比較簡單。因此，為了使學生能靈活運用公式、法則，形成熟練的技能，我們在學了某一公式、法則及其應(yīng)用后，緊接著舉一些逆用公式、法則的例子是十分必要的。這樣，有助于學生逆向思維能力的培養(yǎng)，從而提高學生的數(shù)學解題能力。

（2）加強知識系統(tǒng)的統(tǒng)一，培養(yǎng)學生的橫向思維。橫向思維是從知識之間的橫向相似聯(lián)系出發(fā)，即從數(shù)學的不同分支——代數(shù)、幾何、三角等角度去考察問題、分析問題，用其他領(lǐng)域的知識和方法去解決本領(lǐng)域中的問題。培養(yǎng)學生的橫向思維，不僅可以溝通各課程知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從不同側(cè)面去加深對所學知識的理解和掌握，而且有助于學生克服思維定式造成的思維狹隘性、片面性，培養(yǎng)思維的廣闊性，提高綜合運用各系統(tǒng)知識解決問題的能力。例如：在正方形ABCD中，以頂點A為圓心，AB為半徑作BD交AC于E，⊙O為扇形的內(nèi)切圓，求證EC=OE。此題如果根據(jù)幾何知識，利用推理論證EC=OE顯然是較復雜的。如果設(shè)AB=a，圓O的半徑為r，則解題相對簡便。

（3）加強一題多解教學，引導學生多向思維。多向思維是發(fā)散思維的典型形式，它是從盡可能多的方面來考察同一問題，使思維不局限于一個模式或一個方面。培養(yǎng)學生多向思維，有助于開闊解題思路，活躍思維，克服思維定式的呆板性，培養(yǎng)學生思維的靈活性和創(chuàng)造性。在解題教學中，采用一題多解，可以使學生從不同角度多方面去思考問題，拓展思維的深廣度，引發(fā)學生多向思維。

例如：已知：2AB切⊙O于點B，BC⊥AO于點C，求證∠ABD=∠DBC。

分析：要證∠ABD=∠DBC，方法①：聯(lián)想到AB是⊙O 的切線，B為切點，則聯(lián)結(jié)OB，易證∠ABD+∠OBD=90°，∠CBD+∠ODB=90°，從而問題得證。方法②：聯(lián)想到直徑所對的圓周角則延長DO交⊙O 于E，聯(lián)結(jié)BE，易證∠ABD=∠E，∠DBC=∠E，從而有∠ABD=∠DBC。方法③：聯(lián)想到BC⊥OD及垂徑定理，則延長BC交⊙O 于F， 聯(lián)結(jié)DF，易證，∠DBA=∠F，∠DBC=∠F ，從而有∠ABD=∠DBC。方法④：聯(lián)想到平行線性質(zhì)，則作DG∥BC，交AB于G，易證，DG也是⊙O 的切線，故∠DBG=∠BDG，而∠DBC=∠BDG，從而問題得證。

三、定式思維與發(fā)散思維可以相互轉(zhuǎn)化

定式思維與發(fā)散思維雖然是對立的，但又是相輔相成的，它們可以互相依賴，相互促進，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，每一次轉(zhuǎn)化都使兩者共同進入一個更高的層次。如此繼續(xù)下去，使我們的思維得以提高，發(fā)展，再提高，再發(fā)展……這種發(fā)展模式如下所示：

定式→（轉(zhuǎn)化）發(fā)散(新的定式) →（轉(zhuǎn)化）再發(fā)散(更新的定式) →……

由此可見，定式思維與發(fā)散思維不斷深化的過程，就是逐步培養(yǎng)學生思維的廣闊性、多向性和靈活性的過程。在教學中，既要注重定式思維的積極性，又要注意克服定式思維的消極性，引導學生進行發(fā)散思維。

總之，學生認識和解決問題，多數(shù)總是在定式思維的基礎(chǔ)上發(fā)生的，但這種思維方式有時會產(chǎn)生一種負面效應(yīng)，即會制約發(fā)散思維的產(chǎn)生。因此，在教學中，我們應(yīng)正確認識定式思維的雙重性。我們在教學中應(yīng)加強基礎(chǔ)知識、基本技能的教學，掌握一些常用的數(shù)學方法，構(gòu)建良好的定式思維，為發(fā)散思維的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。同時，又要克服定式思維的不良影響，注意相似問題的不同性，不同問題的相同性，促進知識、經(jīng)驗的正遷移，這樣才能使學生的思維活動再上一個新臺階。

（新沂市職業(yè)技術(shù)教育中心）